Qual é a integral de int tan ^ 4x dx?

Responda:

# (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + c #

Explicação:

A resolução de antiderivados trigonométricos geralmente envolve a quebra da integral para aplicar Identidades Pitagóricas, e eles usando um #você#-substituição. É exatamente o que faremos aqui.

Comece reescrevendo # inttan ^ 4xdx # Como # inttan ^ 2xtan ^ 2xdx #. Agora podemos aplicar a identidade pitagórica # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #ou # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #:

# inttan ^ 2xtan ^ 2xdx = int (seg ^ 2x-1) tan ^ 2xdx #

Distribuindo o # tan ^ 2x #:

#color (branco) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2x-tan ^ 2xdx #

Aplicando a regra da soma:

#color (branco) (XX) = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx #

Nós avaliaremos essas integrais uma por uma.

Primeira Integral

Este é resolvido usando um #você#-substituição:

Deixei # u = tanx #

# (du) / dx = seg ^ 2x #

# du = sec ^ 2xdx #

Aplicando a substituição, #color (branco) (XX) intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = intu ^ 2du #

#color (branco) (XX) = u ^ 3/3 + C #

Porque # u = tanx #, # intsec ^ 2xtan ^ 2xdx = (tan ^ 3x) / 3 + C #

Segunda Integral

Desde que nós não sabemos realmente o que # inttan ^ 2xdx # é apenas olhando para ele, tente aplicar o # tan ^ 2 = sec ^ 2x-1 # identidade novamente:

# inttan ^ 2xdx = int (sec ^ 2x-1) dx #

Usando a regra da soma, a integral resume-se a:

# intsec ^ 2xdx-int1dx #

O primeiro deles # intsec ^ 2xdx #, é apenas # tanx + c #. A segunda, a chamada "integral perfeita", é simplesmente # x + c #. Juntando tudo, podemos dizer:

# inttan ^ 2xdx = tanx + C-x + C #

E porque # C + C # é apenas outra constante arbitrária, podemos combiná-la em uma constante geral # C #:

# inttan ^ 2xdx = tanx-x + C #

Combinando os dois resultados, temos:

# inttan ^ 4xdx = intsec ^ 2xtan ^ 2xdx-inttan ^ 2xdx = ((tan ^ 3x) / 3 + C) - (tanx-x + C) = (tan ^ 3x) / 3-tanx + x + C #

Mais uma vez, porque # C + C # é uma constante, podemos uni-los em um # C #.

Qual é a integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C Nosso grande problema nessa integral é a raiz, então queremos nos livrar dela. Podemos fazer isso introduzindo uma substituição u = sqrt (2x-1). A derivada é então (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) Então nós nos dividimos (e lembre-se, dividir por um recíproco é o mesmo que multiplicar apenas pelo denominador) para integrar com respeito a u: int ( x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancelar (sqrt (2x-1)) cancelar (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du Agora tudo o que precisamos faz

Qual é a integral de int tan ^ 5 (x)?

Int tan ^ (5) (x) dx = 1 / 4sec ^ (4) (x) -sec ^ (2) (x) + ln | seg (x) | + C int tan ^ (5) (x) dx Sabendo o fato de que tan ^ (2) (x) = sec ^ 2 (x) -1, podemos reescrevê-lo como int (sec ^ 2 (x) -1) ^ (2) tan (x) dx, que produz int sec ^ 3 (x) sec (x) tan (x) dx-2int sec ^ 2 (x) tan (x) dx + int tan (x) dx Primeiro integral: Deixe u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Segunda integral: Deixe u = sec (x) -> du = sec (x) tan (x) dx Portanto, int u ^ 3 du - 2int u du + int tan (x) dx note que int tan (x) dx = ln | seg (x) | + C, dando-nos 1/4 u ^ 4 - 1/2 u ^ 2 + ln | seg (x) | + C Substituindo u de volta na expre

Como você avalia a integral definida int sec ^ 2x / (1 + tan ^ 2x) de [0, pi / 4]?

Pi / 4 Observe que a partir da segunda identidade pitagórica que 1 + tan ^ 2x = sec ^ 2x Isso significa que a fração é igual a 1 e isso nos deixa a integral bastante simples de int_0 ^ (pi / 4) dx = x | _0 ^ (pi / 4) = pi / 4