Qual é a integral de int ((x ^ 2-1) / sqrt (2x-1)) dx?

Responda:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) - 3 / 4sqrt (2x-1) + C #

Explicação:

Nosso grande problema nessa integral é a raiz, então queremos nos livrar dela. Podemos fazer isso introduzindo uma substituição # u = sqrt (2x-1) #. A derivada é então

# (du) / dx = 1 / sqrt (2x-1) #

Então, nós nos dividimos através (e lembre-se, dividir por um recíproco é o mesmo que multiplicar apenas pelo denominador) para integrar em relação a #você#:

#int (x ^ 2-1) / sqrt (2x-1) dx = int (x ^ 2-1) / cancelar (sqrt (2x-1)) cancelar (sqrt (2x-1)) du = int x ^ 2-1 du #

Agora tudo o que precisamos fazer é expressar o # x ^ 2 # em termos de #você# (desde que você não pode integrar # x # em relação a #você#):

# u = sqrt (2x-1) #

# u ^ 2 = 2x-1 #

# u ^ 2 + 1 = 2x #

# (u ^ 2 + 1) / 2 = x #

# x ^ 2 = ((u ^ 2 + 1) / 2) ^ 2 = (u ^ 2 + 1) ^ 2/4 = (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4 #

Podemos conectar isso de volta em nossa integral para obter:

#int (u ^ 4 + 2u ^ 2 + 1) / 4-1 du #

Isso pode ser avaliado usando a regra de potência reversa:

# 1/4 * u ^ 5/5 + 2/4 * u ^ 3/3 + u / 4-u + C #

Removendo para # u = sqrt (2x-1) #, Nós temos:

# 1/20 (2x-1) ^ (5/2) +1/6 (2x-1) ^ (3/2) -3 / 4sqrt (2x-1) + C #