Responda:
Começar com
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y - sec (xy) #
Vamos substituir o secante por um cosseno.
# -1 = x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy) #
Agora tomamos o derivado wrt x em ambos os lados!
# d / dx -1 = d / dx (x y ^ 2 + x ^ 2 y - e ^ y -1 / cos (xy)) #
A derivada de uma constante é zero e a derivada é linear!
# 0 = d / dx (x y ^ 2) + d / dx (x ^ 2 y) - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Agora, usando a regra do produto apenas nos dois primeiros termos, recebemos!
# 0 = {d / dx (x) y ^ 2 + xd / dx (y ^ 2)} + {d / dx (x ^ 2) y + x ^ 2 d / dx y} - d / dx (e ^ y) -d / dx (1 / cos (xy)) #
Próximos lotes e lotes de diversão com a regra da cadeia! Veja o último termo!
(também fazendo os simples x derivados)
# 0 = {1 * y ^ 2 + x * (d / dy y ^ 2) * dy / dx} + {2x * y + x ^ 2 * d / dy y * dy / dx} - {d / dy e ^ y} {dy / dx} #
# -d / {d cos (xy)} (cos (xy)) ^ (- 1) * d / {d xy} cos (xy) * d / dx {xy} #
Fazendo algumas dessas derivadas, derivados xy e derivados cos (xy) também fazendo a regra do produto e a regra da cadeia mais uma vez na última parte do último termo.
# 0 = {y ^ 2 + x * 2 * y * dy / dx} + {2xy + x ^ 2 * 1 * dy / dx} - e ^ y {dy / dx} #
# - (-1) (cos (xy)) ^ (- 2) * - sin (xy) * (dx / dx y + x dy / dy dy / dx) #
Neaten um pouco e termine todos os derivados
# 0 = y ^ 2 + 2xy dy / dx + 2xy + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx #
# - (sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) (y + x dy / dx) #
Agora separe em termo com # dx / dy # e sem
# 0 = y ^ 2 + 2xy - y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) + #
# 2xy dy / dx + x ^ 2 dy / dx - e ^ y dy / dx - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy) dy / dx #
Traga tudo sem # dy / dx # para um lado e coleção como termos do outro
# y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy = #
# (2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)) dy / dx #
Divida embora para encontrar # dy / dx #
# dy / dx = {y sin (xy) / cos ^ 2 (xy) - y ^ 2 - 2xy} / {2xy + x ^ 2 - e ^ y - x sin (xy) / cos ^ 2 (xy)} #
Isso foi muito longo!
Explicação:
Fui com uma explicação muito longa com um exemplo simples, porque a diferenciação implícita pode ser complicada e a regra da cadeia é muito, muito importante.
Você precisa usar cerca de três regras BIG Calculus para resolver isso e três derivadas de funções específicas.
1) A linearidade da derivada.
# d / dx (A + B + C + D) = d / dx (A) + d / dx (B) + d / dx (C) + d / dx (D) #
2) A regra do produto.
# d / dx (f (x) * g (x)) = (f (x)) * d / dx g (x) + (d / dx f (x)) * g (x) #
3) De longe, o conceito mais importante na diferenciação implícita é
a regra da cadeia. Para funções compostas, funções de outras funções, #f (u (x)) # temos, # d / dx (f (u (x))) = d / {du} f (v (x)) du / dx #.
Você pode continuar com isso
# d / dx (f (u (y (x)))) = d / {du} f () {du} / {dy} {dy} / {dx} #, e assim por diante. Nota # dx / dx = 1 #.
Exemplo: Se você tem uma função de uma função #f (u) # Onde #você# é uma funçao de # x #. ou seja #f (x) = sqrt (1-x ^ 2) # (Aqui #f (u) = sqrt (u) # e #u (x) = 1-x ^ 2 #.
# d / dx sqrt (1-x ^ 2) = d / dx (1-x ^ 2) ^ {1/2} = (d / {du} (u ^ {1/2})) * (d / dx (1-x ^ 2)) #
# = 1/2 (u ^ {- 1/2}) * (-2x) # recordar # u = (1-x ^ 2) #
# = - x (1-x ^ 2) ^ {- 1/2} = -x / {sqrt (1-x ^ 2} #
Expressões para tipos de funções específicas.
A) Como tirar a derivada das funções de potência, #f (x) = c x ^ n #.
# d / dx (c * x ^ n) = c * n * x ^ {n-1} #
B) Como tomar a derivada de # e ^ x #.
# d / dx (e ^ x) = e ^ x # <- chato eh?
C) Como tirar a derivada de # cos (x) # Porque # sec (x) = 1 / { cos (x)} #.
# d / dx (cos x) = - sin x #
A chave para a diferenciação implícita é usar a regra da cadeia para assumir a derivada de xe função de x e y, como um círculo.
# 9 = x ^ 2 + y ^ 2 #
# d / dx 9 = d / dx (x ^ 2 + y ^ 2) = d / dx (x ^ 2) + d / dx (y ^ 2) #
# 0 = 2x + d / dy y ^ 2 * dy / dx #
# 0 = 2x + 2y * dy / dx #
# -2x = 2y * dy / dx #
# dy / dx = -x / y #
