Como você resolve o sistema x ^ 2 + y ^ 2 = 9 e x-3y = 3?

Responda:

Existem duas soluções para este sistema: os pontos #(3,0)# e #(-12/5, -9/5)#.

Explicação:

Este é um sistema interessante de problema de equações, porque gera mais de uma solução por variável.

Por que isso acontece é algo que podemos analisar agora. A primeira equação, é a forma padrão para um círculo com raio #3#. O segundo é uma equação ligeiramente confusa para uma linha. Limpo, ficaria assim:

#y = 1/3 x - 1 #

Então, naturalmente, se considerarmos que uma solução para este sistema será um ponto em que a linha e o círculo se cruzam, não devemos nos surpreender ao saber que haverá duas soluções. Um quando a linha entra no círculo e outra quando sai. Veja este gráfico:

gráfico {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Primeiro, começamos manipulando a segunda equação:

#x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Podemos inserir isso diretamente na primeira equação para resolver # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Obviamente, esta equação tem duas soluções. Um para #y = 0 # e outro para # 9 + 5y = 0 # que significa #y = -9 / 5 #.

Agora podemos resolver para o # x # em cada um desses # y # valores.

E se # y = 0 #:

#x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

E se #y = -9 / 5 #:

#x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Então nossas duas soluções são os pontos: #(3,0)# e #(-12/5, -9/5)#. Se você olhar para o gráfico, poderá ver que eles correspondem claramente aos dois pontos em que a linha cruzou o círculo.