O que sqrt (3 + i) é igual em um formulário + bi?

Responda:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Supor # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Assim, equiparando partes reais e imaginárias, obtemos:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Conseqüentemente #b = 1 / (2a) #, que podemos substituir na primeira equação para obter:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Multiplique as duas extremidades por # 4a ^ 2 # para obter:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Assim:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

A partir da fórmula quadrática, obtemos:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Desde a #sqrt (10)> 3 #, escolha o #+# sinal para obter valores reais para #uma#:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

Onde # b # tem o mesmo sinal que #uma# Desde a #b = 1 / (2a) #

A raiz quadrada principal está no Q1 com #a, b> 0 #

Isso é:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

De fato, se #c, d> 0 # então podemos mostrar da mesma forma:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) Eu#