Pergunta sobre gravitação?

(a) Para objeto de massa # m = 2000 kg # movendo-se em uma órbita circular de raio # r # com uma velocidade # v_0 # ao redor da terra de massa # M # (a uma altitude # h # do # 440 m #), o período orbital # T_0 # é dado pela terceira lei de Kepler.

# T_0 ^ 2 = (4pi ^ 2) / (GM) r ^ 3 # ……(1)

Onde # G # é a Constante Gravitacional Universal.

Em termos de altitude das naves espaciais

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / (GM) (R + h) ^ 3) #

Inserindo vários valores, obtemos

# T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.37xx10 ^ 6 + 4.40xx10 ^ 5) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.81xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T_0 = 5591.0 s #

(b) A força centrípeta é equilibrada pela força gravitacional. A expressão se torna

# (mv_0 ^ 2) / r = (GMm) / r ^ 2 #

# => v_0 = sqrt ((GM) / r) #

Alternativamente, para uma órbita circular

# v_0 = romega #

# => v_0 = (R + h) (2pi) / T_0 #

Inserindo vários valores em expressão alternativa

# v_0 = (6.81xx10 ^ 6) (2pi) / 5591 #

# => v_0 = 7653 m cdot s ^ -1 #

c) Energia cinética da nave espacial de Picard logo após o disparo da explosão

# E_K = 1 / 2mv ^ 2 #

Inserindo vários valores, obtemos

# E_K = 1/2 (2000) ((100-1.30) / 100xx7653) ^ 2 #

# => E_K = 5.7xx10 ^ 10 J #

(d) Energia potencial desta nave espacial ao mesmo tempo

#E_P = - (GMm) / (r) #

Inserindo vários valores, obtemos

#E_P = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (6.81xx10 ^ 6) #

# E_P = -1.17xx10 ^ 11 J #

e) energia total # E_T = E_P + E_K #

# E_T = -1.17xx10 ^ 11 + 5.7xx10 ^ 10 #

# E_T = -6.0xx10 ^ 10 J #

(f) semi-major #uma# eixo é dado por

#E_T = - (GMm) / (2a) #

# => a = - (GMm) / (2E_T) #

Inserindo valores dados, obtemos

# => a = - ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24) (2000)) / (2 (-6.0xx10 ^ 10)) #

# => a = 6.65xx10 ^ 6 m #

g) O novo período orbital # T # é encontrado a partir da expressão

# T ^ 2 = (4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3 #

# => T = sqrt ((4pi ^ 2) / ((6.67xx10 ^ -11) (5.98xx10 ^ 24)) (6.65xx10 ^ 6) ^ 3) #

# => T = 5395,1 s #

(h) Picard é agora mais rápido que Igor pelo tempo

# DeltaT = 5591.0-5395.1 = 195.9 s #

Quando ele chegou primeiro no ponto # P # ele era # 84.0 s # atrás. Agora mais cedo por

# 195.9-84.0 = 111.9 s #