Como você encontra o limite de (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) quando x se aproxima de oo?

Responda:

Fazer um pouco de factoring e cancelar para obter #lim_ (x-> oo) (8x-14) / (sqrt (13x + 49x ^ 2)) = 8/7 #.

Explicação:

Nos limites do infinito, a estratégia geral é aproveitar o fato de que #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #. Normalmente isso significa fatorar um # x #, que é o que vamos fazer aqui.

Comece por fatorar um # x # fora do numerador e um # x ^ 2 # fora do denominador:

# (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2 (13 / x + 49)) #

# = (x (8-14 / x)) / (sqrt (x ^ 2) sqrt (13 / x + 49)) #

A questão é agora com #sqrt (x ^ 2) #. É equivalente a #abs (x) #, que é uma função por partes:

#abs (x) = {(x, "para", x> 0), (- x, "para", x <0):} #

Como este é um limite no infinito positivo (#x> 0 #), vamos substituir #sqrt (x ^ 2) # com # x #:

# = (x (8-14 / x)) / (xsqrt (13 / x + 49)) #

Agora podemos cancelar o # x #s:

# = (8-14 / x) / (sqrt (13 / x + 49)) #

E finalmente ver o que acontece como # x # vai para # oo #:

# = (8-14 / oo) / (sqrt (13 / oo + 49)) #

Porque #lim_ (x-> oo) 1 / x = 0 #isso é igual a:

# (8-0) / (sqrt (0 + 49)) #

# = 8 / sqrt (49) #

#=8/7#