Como você encontra o limite de sqrt (x ^ 2-9) / (2x-6) quando x se aproxima de -oo?

Responda:

Faça um pouco de factoring para obter #lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #.

Explicação:

Quando lidamos com limites no infinito, é sempre útil fatorar um # x #ou um # x ^ 2 #, ou seja qual for o poder de # x # simplifica o problema. Para este, vamos fatorar um # x ^ 2 # do numerador e um # x # do denominador:

#lim_ (x -> - oo) (sqrt (x ^ 2-9)) / (2x-6) = (sqrt ((x ^ 2) (1-9 / (x ^ 2)))) / (x (2-6 / x)) #

# = (sqrt (x ^ 2) sqrt (1-9 / (x ^ 2)) / (x (2-6 / x)) #

Aqui é onde começa a ficar interessante. Para #x> 0 #, #sqrt (x ^ 2) # é positivo; no entanto, para #x <0 #, #sqrt (x ^ 2) # é negativo. Em termos matemáticos:

#sqrt (x ^ 2) = abs (x) # para #x> 0 #

#sqrt (x ^ 2) = - x # para #x <0 #

Já que estamos lidando com um limite no infinito negativo, #sqrt (x ^ 2) # torna-se #x #:

# = (- xsqrt (1-9 / (x ^ 2)) / (x (2-6 / x)) #

# = (- sqrt (1-9 / (x ^ 2)) / (2-6 / x) #

Agora podemos ver a beleza desse método: temos um # 9 / x ^ 2 # e # 6 / x #, ambos irão para #0# Como # x # vai para o infinito negativo:

#lim_ (x -> - oo) = (- sqrt (1-0)) / (2-0) #

#lim_ (x -> - oo) = - 1/2 #