Qual é a derivada de x ^ x?

Responda:

# dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #

Explicação:

Nós temos:

# y = x ^ x # Vamos pegar o log natural dos dois lados.

#ln (y) = ln (x ^ x) # Usando o fato de que #log_a (b ^ c) = clog_a (b) #, # => ln (y) = xln (x) # Aplique # d / dx # em ambos os lados.

# => d / dx (ln (y)) = d / dx (xln (x)) #

A regra da cadeia:

E se #f (x) = g (h (x)) #, então #f '(x) = g' (h (x)) * h '(x) #

Regra de poder:

# d / dx (x ^ n) = nx ^ (n-1) # E se # n # é uma constante.

Além disso, # d / dx (lnx) = 1 / x #

Por fim, a regra do produto:

E se #f (x) = g (x) * h (x) #, então #f '(x) = g' (x) * h (x) + g (x) * h '(x) #

Nós temos:

# => dy / dx * 1 / y = d / dx (x) * ln (x) + x * d / dx (ln (x)) #

# => dy / dx * 1 / y = 1 * ln (x) + x * 1 / x #

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + cancelx * 1 / cancelx #

(Não se preocupe quando # x = 0 #, Porque #ln (0) # é indefinido)

# => dy / dx * 1 / y = ln (x) + 1 #

# => dy / dx = y (ln (x) +1) #

Agora, desde # y = x ^ x # podemos substituir # y #.

# => dy / dx = x ^ x (ln (x) +1) #