Qual é a forma do vértice da equação da parábola com um foco em (1, -9) e uma diretriz de y = -1?

Responda:

# y = -1 / 16 (x-1) ^ 2 + 5 #

Explicação:

Parábola é o locus de um ponto que se move de tal forma que sua distância de um ponto chamado foco e uma linha chamada diretriz é sempre o mesmo.

Daí um ponto, digamos # (x, y) # na parábola desejada será equidistante de foco #(1,-9)# e diretriz # y = -1 # ou # y + 1 = 0 #.

Como a distância de #(1,-9)# é #sqrt ((x-1) ^ 2 + (y + 9) ^ 2) # e de # y + 1 # é # | y + 1 | #, temos

# (x-1) ^ 2 + (y + 9) ^ 2 = (y + 1) ^ 2 #

ou # x ^ 2-2x + 1 + y ^ 2 + 18a + 81 = y ^ 2 + 2a + 1 #

ou # x ^ 2-2x + 16a + 81 = 0 #

ou # 16y = -1 (x ^ 2-2x + 1-1) -81 #

ou # 16y = - (x ^ 2-2x + 1) + 1-81 #

ou # y = -1 / 16 (x-1) ^ 2 + 5 #

Portanto, o vértice é #(1,-5)# e eixo de simetria é # x = 1 #

gráfico {(y + 1/16 (x-1) ^ 2 + 5) (y + 1) (x-1) ((x-1) ^ 2 + (y + 9) ^ 2-0,04) = 0 -20,08, 19,92, -17,04, 2,96}