Prove: tan ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / ( 1 + cosx) ^ 2)?

Provar

# tg ^ 5x = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1+ cosx) ^ 2) #

RHS

# = ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (1-sin ^ 2x) ^ 2) / (((1 + cosx ^ 2) - (1-cosx) ^ 2) / (1-cos ^ 2x) ^ 2) #

# = ((4sinx) / cos ^ 4x) / ((4cosx) / (sin ^ 4x)) #

# = sin ^ 5x / cos ^ 5x = tan ^ 5x = LHS #

Provado

Esta é uma daquelas provas que é mais fácil de trabalhar da direita para a esquerda. Começar com:

# ((1 / (1-sinx) ^ 2) - (1 / (1 + sinx) ^ 2)) / ((1 / (1-cosx) ^ 2) - (1 / (1 + cosx) ^ 2) #

Multiplique o numerador e o denominador das frações incorporadas pelos "conjugados" (por ex. # 1pmsinx # em # 1 sinx #). Você entende isso, por exemplo, # (1 + sinx) (1-sinx) = 1-sin ^ 2x #.

# = (((1 + sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1-sinx))) - ((1-sinx) / ((1-sin ^ 2x) (1 + sinx)))) / (((1 + cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1-cosx))) - ((1-cosx) / ((1-cos ^ 2x) (1 + cosx))) #

Repita a etapa anterior para simplificar ainda mais o denominador nas frações incorporadas:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2)) - ((1-sinx) ^ 2 / ((1-sin ^ 2x) ^ 2))) / (((1 + cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) - ((1-cosx) ^ 2 / ((1-cos ^ 2x) ^ 2)) #

Use as identidades # 1-sin ^ 2x = cos ^ 2x # e # 1-cos ^ 2x = sin ^ 2x # para obter:

# = (((1 + sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x)) - ((1-sinx) ^ 2 / (cos ^ 4x))) / (((1 + cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) - ((1-cosx) ^ 2 / (sin ^ 4x)) #

Combine frações e inverta para multiplicar os recíprocos:

# = (((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x)) / (((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) / (sin ^ 4x)) #

# = ((1 + sinx) ^ 2- (1-sinx) ^ 2) / (cos ^ 4x) * (sen ^ 4x) / ((1 + cosx) ^ 2- (1-cosx) ^ 2) #

Expanda os termos quadrados:

# = (cancelar (1) + 2sinx + cancelar (sin ^ 2x) - (cancelar (1) -2sinx + cancelar (sin ^ 2x))) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (cancelar (1) + 2cosx + cancelar (cos ^ 2x) - (cancelar (1) -2cosx + cancelar (cos ^ 2x))) #

# = (cancelar (4) sinx) / (cos ^ 4x) * (sin ^ 4x) / (cancelar (4) cosx) #

# = cor (azul) (tan ^ 5x) #