Qual é a derivada de x ^ n?

Para a função #f (x) = x ^ n #, n deveria não igual a 0, por motivos que se tornarão claros. n também deve ser um número inteiro ou um número racional (ou seja, uma fração).

A regra é:

#f (x) = x ^ n => f '(x) = nx ^ (n-1) #

Em outras palavras, "tomamos emprestado" o poder de x e o transformamos no coeficiente da derivada, e então subtraímos 1 da potência.

#f (x) = x ^ 2 => f '(x) = 2x ^ 1 #

#f (x) = x ^ 7 => f '(x) = 7x ^ 6 #

#f (x) = x ^ (1/2) => f '(x) = 1/2 * x ^ (- 1/2) #

Como mencionei, o caso especial é onde n = 0. Isso significa que

#f (x) = x ^ 0 = 1 #

Nós podemos usar nossa regra e tecnicamente obtenha a resposta certa:

#f '(x) = 0x ^ -1 = 0 #

No entanto, mais tarde na pista, vamos nos deparar com complicações quando tentamos usar o inverso dessa regra.

Responda:

# y ^ '= nx ^ (n-1) #

Abaixo estão as provas para cada número, mas apenas a prova para todos os inteiros usa o conjunto de habilidades básicas da definição de derivativos. A prova para todos os racionais usa a regra da cadeia e os irracionais usam a diferenciação implícita.

Explicação:

Dito isto, vou mostrar todos eles aqui, para que você possa entender o processo. Cuidado com isso #vai# ser razoavelmente longo.

De #y = x ^ (n) #, E se #n = 0 # temos #y = 1 # e a derivada de uma constante é sempre zero.

E se # n # é qualquer outro inteiro positivo que podemos jogá-lo na fórmula derivada e usar o teorema binomial para resolver a bagunça.

#y = lim_ (h rarr 0) ((x + h) ^ n - x ^ n) / h #

#y = lim_ (h rarr 0) (x ^ n + Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) - x ^ n) / h #

Onde # K_i # é a constante apropriada

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ n (K_i * x ^ (n-i) h ^ i) / h #

Dividindo isso # h #

#y = lim_ (h rarr 0) Sigma_ (i = 1) ^ nK_i * x ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Eu posso tirar o primeiro termo da soma

#y = lim_ (rarr 0) K_1 * x ^ (n-1) + Sigma_ (i = 2) ^ nK_ix ^ (n-i) h ^ (i-1) #

Tomando o limite, todo o resto ainda na soma vai para zero. Calculando # K_1 # vemos que é igual a # n #, assim

#y = K_1 * x ^ (n-1) = nx ^ (n-1) #

Para # n # que são números inteiros negativos, é um pouco mais complicado. Sabendo que # x ^ -n = 1 / x ^ b #, de tal modo que #b = -n # e, portanto, é positivo.

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h (1 / (x + h) ^ b - 1 / x ^ b) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - (x + h) ^ b) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) 1 / h ((x ^ b - x ^ b - Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ i) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

#y = lim_ (h rarr 0) ((- Sigma_ (i = 1) ^ bK_ix ^ (b-i) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Tire o primeiro termo

#y = lim_ (h rarr 0) ((- K_1x ^ (b-1) - Sigma_ (i = 2) ^ bK_ix ^ (bi) h ^ (i-1)) / (x ^ b (x + h) ^ b)) #

Tome o limite, onde # K_1 = b #, substituindo isso de volta para # n #

#y = -K_1x ^ (b-1) / (x ^ b * x ^ b) = -K_1x ^ (b-1-2b) = -K_1x ^ (- b-1) = nx ^ (n-1) #

Para os racionais, precisamos usar a regra da cadeia. Ou seja: # f (g (x)) ^ '= f ^' (g (x)) g ^ '(x) #

Então, sabendo disso # x ^ (1 / n) = raiz (n) (x) # e assumindo #n = 1 / b # temos

# (x ^ n) ^ b = x #

E se # b # é mesmo, a resposta é tecnicamente # | x | # mas isso é perto o suficiente para nossos propósitos

Então, usando a regra da cadeia, temos

# x ^ n ^ '= 1 / (bx ^ (nb-n)) = 1 / (bx ^ (1-n)) = nx ^ (n - 1) #

E por último, mas não menos importante, usando a diferenciação implícita, podemos provar para todos os números reais, incluindo os irracionais.

#y = x ^ n #

#ln (y) = n * ln (x) #

#y ^ '/ y = n / x #

# y ^ '= (nx ^ n) / x = nx ^ (n-1) #