Qual é a raiz quadrada de 82?

Responda:

# 10> sqrt82> 9 #, # sqrt82 ~~ 9.0554 #

Explicação:

#x_ "n + 1" = 1/2 (x_ "n" + S / x_ "n") -> sqrtS # para #n -> oo #

S é o número do qual você está aproximando sua raiz sqaure. Nesse caso # S = 82 #

Aqui está o que isso significa e como é usado:

Primeiro, adivinhe, qual seria a raiz quadrada de 82?

a raiz quadrada de 81 é 9, então deve ser um pouco maior que 9, certo?

Nosso palpite será #x_ "0" #digamos 9,2 #x_ "0" = 9,2 #

Inserir 9.2 como "x" na fórmula nos dará #x_ "0 + 1" = x_ "1" #

Este será o próximo número que colocaremos na equação. Isso é porque começamos com um palpite de 9,2 = #x_ "0" #, isso nos deu um número #x_ "1" #, inserindo este número nos dará #x_ "2" #que nos dará #x_ "3" # e assim por diante, sempre nos dando o próximo número quando inserimos o anterior. O lado direito da equação indicado com "#->#"significa que quando" n "fica maior e maior, o número também se aproxima e se aproxima da raiz quadrada de S, neste caso 82.

Vamos dizer que fizemos o mesmo cálculo 100 vezes! Então nós teríamos #x_ "100" #. Este número seria muito próximo da raiz quadrada de S.

Chega de falar, vamos fazer alguns cálculos reais!

Nós começamos com nosso palpite #x_ "0" = 9,2 #

#x_ "1" = 1/2 (9,2 + 82 / 9,2) ~~ 9,05652 #

Agora faça o mesmo com o novo número: #x_ "2" = 1/2 (9.05652 + 82 / 9.05652) ~~ 9.05549 #

Vamos fazer uma última vez: #x_ "3" = 1/2 (9,05549 + 82 / 9,05546) ~~ 9,0554 #

Que significa # sqrt82 ~~ 9.0554 #

E aí está você!

Desculpe se toda a minha conversa foi irritante. Eu tentei explicar em profundidade e de uma maneira simples, o que é sempre bom se você não estiver muito familiarizado com um determinado campo da matemática. Eu não vejo porque algumas pessoas têm que ser tão elegantes quando explicam matemática:)

Responda:

#sqrt (82) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …)))) ~~ 9.0553851381374 #

Explicação:

A principal fatoração de #82# é:

#82 = 2*41#

Como não há fatores quadrados, #sqrt (82) # não pode ser simplificado. É um número irracional um pouco maior que #9#.

No entanto, note que #82=81+1 = 9^2+1#.

Como isso é da forma # n ^ 2 + 1 #, a raiz quadrada tem uma forma muito regular como uma fração contínua:

#sqrt (82) = 9; bar (18) = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1 / (18 + …))) #

Geralmente mais:

#sqrt (n ^ 2 + 1) = n; bar (2n) = n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + 1 / (2n + …)))) #

Mais geralmente ainda:

#sqrt (n ^ 2 + m) = n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + m / (2n + …)))) #

Em qualquer caso, podemos usar a fração continuada para obter aproximações racionais para #sqrt (82) # truncando.

Por exemplo:

#sqrt (82) ~~ 9; 18 = 9 + 1/18 = 163/18 = 9.0bar (5) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18 = 9 + 1 / (18 + 1/18) = 2943/325 = 9.05bar (538461) #

#sqrt (82) ~~ 9; 18,18,18 = 9 + 1 / (18 + 1 / (18 + 1/18)) = 53137/5868 ~~ 9.05538513974 #

Uma calculadora me diz isso:

#sqrt (82) ~~ 9.0553851381374 #

Assim, você pode ver que nossas aproximações são precisas para quase tantos dígitos significativos quanto o número total de dígitos no quociente.