Encontre máximos e mínimos de f (x) = 5sinx + 5cosx em um intervalo de [0,2pi]?

Responda:

Há

• um máximo local em # (pi / 2, 5) # e
• um mínimo local em # ((3pi) / 2, -5) #

Explicação:

#color (darkblue) (sin (pi / 4)) = cor (azul escuro) (cos (pi / 4)) = cor (azul escuro) (1) #

#f (x) = 5sinx + 5cosx #

#color (branco) (f (x)) = 5 (cor (azul escuro) (1) * sinx + cor (azul escuro) (1) * cosx) #

#color (branco) (f (x)) = 5 (cor (azul escuro) (cos (pi / 4)) * sinx + cor (azul escuro) (sin (pi / 4)) * cosx) #

Aplique a identidade do ângulo composto para a função seno

#sin (alfa + beta) = sin alfa * cos beta + cos alfa * sin beta #

#color (preto) (f (x)) = 5 * sin (pi / 4 + x) #

Deixei # x # seja o # x- #coordenada dos extremos locais desta função.

# 5 * cos (pi / 4 + x) = f '(x) = 0 #

# pi / 4 + x = pi / 2 + k * pi # Onde #k # um inteiro.

# x = -pi / 2 + k * pi #

#x em {pi / 2, (3pi) / 2} #

• #f (pi / 2) = 5 * sin (pi / 2) = 5 #,

  daqui há um máximo local em # (pi / 2, 5) #

• #f (pi / 2) = 5 * sin ((3pi) / 2) = - 5 #,

  Portanto, há um mínimo local em # (pi / 2, -5) #