Alguém pode me ajudar a entender essa equação? (escrevendo uma equação polar de uma cônica)

Responda:

#r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Explicação:

Uma cônica com excentricidade # e = 4/5 # é uma elipse.

Para cada ponto da curva, a distância até o ponto focal ao longo da distância até a diretriz é # e = 4 / 5. #

Concentre-se no polo? Qual pole? Vamos supor que o consulente significa concentrar-se na origem.

Vamos generalizar a excentricidade para # e # e a diretriz para # x = k #.

A distância de um ponto # (x, y) # na elipse para o foco é

# sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #

A distância para a diretriz # x = k # é # | x-k | #.

# e = sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} / | x-k | #

# e ^ 2 = {x ^ 2 + y ^ 2} / (x-k) ^ 2 #

Essa é a nossa elipse, não há nenhuma razão específica para trabalhar em forma padrão.

Vamos fazer isso polar # r ^ 2 = x ^ 2 + y ^ 2 # e # x = r cos theta #

# e ^ 2 = r ^ 2 / (r cos teta -k) ^ 2 #

# e ^ 2 (r cos teta - k) ^ 2 = r ^ 2 #

# (e r cos theta - e k) ^ 2 - r ^ 2 = 0 #

# (r e cos teta + r - ek) (r e cos teta - r - ek) = 0 #

#r = {ek} / {e cos theta + 1} ou r = {ek} / {e cos theta - 1} #

Nós abandonamos o segundo formulário porque nunca tivemos # r #.

Então a forma polar de uma elipse com excentricidade # e # e diretriz # x = k # é

#r = {ek} / {e cos theta + 1} #

Essa parece ser a forma de onde você começou.

Conectando # e = 4/5, k = 3 #

#r = {12/5} / {4/5 cos theta + 1} #

Simplificando dá, #r = 12 / {4 cos theta + 5} #

Isso não é nada disso.