Pergunta # 92256

Responda:

Veja explicação

Explicação:

Quebre isso em duas partes, em primeiro lugar a parte interna:

# e ^ x #

Isso é positivo e aumenta para todos os números reais e vai de 0 a # oo # Como # x # vai de #ooo para # oo #

Nós temos:

#arctan (u) #

O tem uma assíntota horizontal direita em # y = pi / 2 #. Indo de # u = 0 rarr oo #em # u = 0 # esta função é positiva e aumentando sobre este domínio, leva um valor de 0 em # u = 0 #, um valor de # pi / 4 # a # u = 1 # e um valor de # pi / 2 # a # u = oo #.

Esses pontos, portanto, são puxados para # x = -oo, 0, oo # respectivamente e acabamos com um gráfico parecido com isso como resultado:

graph {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Qual é a parte positiva do # arctan # função esticar sobre toda a linha real com o valor da esquerda sendo esticar em uma assíntota horizontal em # y = 0 #.

Responda:

Veja explicação

Explicação:

Domínio é # RR #

Simetria

Nem com respeito ao # x # eixo nem a origem.

#arctan (e ^ (- x)) # não simplifica para #arctan (e ^ x) #

nem para # -arctan (e ^ x) #

Intercepta

# x # intercepta: nenhum

Nós não podemos conseguir #y = 0 # porque isso exigiria # e ^ x = 0 #

Mas # e ^ x # nunca é #0#, só se aproxima #0# Como # xrarr-oo #.

Assim, # yrarr0 # Como # xrarr-oo # e a # x # eixo os horizontal

assíntota à esquerda.

# y # interceptar: # pi / 4 #

Quando # x = 0 #, Nós temos #y = arctan (1) = pi / 4 #

Assíntotas:

Vertical: nenhum

# arctan # está entre #pi / 2 # e # pi / 2 # por definição, então nunca vai para # oo #

Horizontal:

Esquerda: # y = 0 # como discutido acima

Certo: # y = pi / 2 #

Sabemos que, como # thetararrpi / 2 # com #theta <pi / 2 #, Nós temos #tantheta rarr oo #

assim como # xrarroo #, Nós temos # e ^ x rarroo #, assim # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Primeiro derivado

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # nunca é #0# e nunca indefinido, então não há números críticos.

Para cada # x # temos #y '> 0 # então a função está aumentando # (- oo, oo) #

Não há extremos locais.

Segunda derivada

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # nunca é indefinido, e é #0# a # x = 0 #

Sinal de #y '' #:

Em # (- oo, 0) #, Nós temos # e ^ (2x) <1 # assim #y ''> 0 # e o gráfico é côncavo

Em # (0, oo) #, Nós temos # e ^ (2x)> 1 # assim #y '' <0 # e o gráfico é côncavo para baixo

A concavidade muda em # x = 0 #, então o ponto de inflexão é:

# (0, pi / 4) #

Agora, desenhe o gráfico