Por que não podemos integrar x ^ x?

Responda:

Nós não temos uma regra para isso.

Explicação:

Em integrais, temos regras padrão. A regra anti-cadeia, a regra anti-produto, a regra anti-poder e assim por diante. Mas nós não temos um para uma função que tem um # x # tanto na base quanto no poder. Podemos tomar a derivada disso muito bem, mas tentar tomar sua integral é impossível por causa da falta de regras com as quais trabalharia.

Se você abrir o Desmos Graphing Calculator, você pode tentar conectar

# int_0 ^ x a ^ ada #

e vai fazer um gráfico bem. Mas se você tentar usar a regra anti-poder ou a regra anti-expoente para representar graficamente, verá falha. Quando tentei encontrá-lo (no qual ainda estou trabalhando), meu primeiro passo foi retirá-lo deste formulário e colocá-lo no seguinte:

# inte ^ (xln (x)) dx #

Isso essencialmente nos permite usar as regras de cálculo um pouco melhor. Mas mesmo quando usando Integração por Partes, você nunca se livra da integral. Portanto, você não consegue uma função para determiná-lo.

Mas, como sempre na matemática, é divertido experimentar.Então vá em frente e tente, mas não muito longo ou difícil, você será sugado para dentro deste buraco de coelho.

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

#y = x ^ x # pode ser integrado. Por exemplo

# int_0 ^ 1 x ^ x dx = 0.783430510712135 … #

Outra coisa é ter agora um dia, uma função #f (x) # que representa de forma fechada, o primitivo para # x ^ x # ou em outras palavras, tal que

# d / (dx) f (x) = x ^ x #

Se esta fosse uma função de uso comum em problemas técnico-científicos, certamente teríamos inventado um nome e um símbolo diferenciado para manipulá-lo. Como a função Lambert definida como

#W (x) = x e ^ x #

Responda:

Por favor veja abaixo.

Explicação:

Como Cesareo indicou (sem dizer), há alguma ambiguidade em "não podemos integrar".

A função #f (x) = x ^ x # é contínuo em # (0, oo) #

e em # 0, oo) # se fizermos #f (0) = 1 #então vamos fazer isso. Portanto, a integral definida

# int_a ^ b x ^ x dx # existe para todos # 0 <= a <= b #

Além disso, o teorema fundamental de calulus nos diz que a função # int_0 ^ x t ^ t dt # tem derivado # x ^ x # para #x> = 0 #

O que não podemos fazer é expressar essa função em uma forma agradável, finita e fechada de expressões algébricas (ou até mesmo conhecer funções transcendentais).

Há muitas coisas na matemática que não podem ser expressas, exceto em uma forma que permita aproximações sucessivamente melhores.

Por exemplo:

O número cujo quadrado é #2# não pode ser expresso em forma decimal ou fracionária usando uma expressão finita. Então nós damos um símbolo # sqrt2 # e aproxime-o para qualquer nível de precisão desejado.

A razão entre a circunferência e o diâmetro de um círculo não pode ser expressada finitamente usando uma combinação algébrica finita de números inteiros, então damos a ela um nome, # pi # e aproxime-o para qualquer nível de precisão desejado.

A solução para # x = cosx # também pode ser aproximado a qualquer grau desejado de precisão, mas não pode ser expresso de maneira finita. Esse número não é (talvez) importante o suficiente para receber um nome.

Como Cesareo disse, se a integral de # x ^ x # tinha muitas aplicações, matemáticos adotariam um nome para isso.

Mas os cálculos ainda exigiriam aproximação infinita.