Responda:
Uma elipse
Explicação:
Cônicas podem ser representadas como
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
Onde #p = {x, y} # e
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Para cônicas #m_ {12} = m_ {21} # então # M # autovalores são sempre reais porque a matriz é simétrica.
O polinômio característico é
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
Dependendo de suas raízes, a cônica pode ser classificada como
1) Igualdade --- círculo
2) O mesmo sinal e valores absolutos diferentes --- elipse
3) Sinais diferentes --- hipérbole
4) uma raiz nula --- parábola
No presente caso, temos
#M = ((4,0), (0,8)) #
com polinômio característico
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
com raízes #{4,8}# então nós temos uma elipse.
Sendo uma elipse, há uma representação canônica para isso
# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # pode ser determinado da seguinte forma
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 para todos x em RR #
dando
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
resolvendo nós começamos
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
assim
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
