O que é int_ (1) ^ (4) x ^ 4-x ^ 3 + sqrt (x-1) / x ^ 2 dx?

Responda:

# 1023/5 - (225 - sqrt3) / 4 + arctan (sqrt3) #

Explicação:

Essa explicação é um pouco longa, mas não consegui encontrar uma maneira mais rápida de fazer isso …

A integral é uma aplicação linear, então você já pode dividir a função sob o sinal integral.

# int_1 ^ 4 (x ^ 4 - x ^ 3 + (sqrt (x-1) / x ^ 2)) dx # = # int_1 ^ 4 x ^ 4dx - int_1 ^ 4x ^ 3dx + int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx #

Os dois primeiros termos são funções polinomiais, por isso são fáceis de integrar. Eu te mostro como fazer isso # x ^ 4 #.

# intx ^ 4dx = x ^ 5/5 # assim # int_1 ^ 4x ^ 4dx = 4 ^ 5/5 - 1/5 = 1023/5 #. Você faz exatamente a mesma coisa # x ^ 3 #, o resultado é #255/4#.

Encontrar #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx # é um pouco longo e complicado. Primeiro você multiplica a fração por #sqrt (x-1) / sqrt (x-1) # e então você muda a variável: digamos #u = sqrt (x-1) #. assim # du = 1 / (2sqrt (x-1)) dx # e agora você tem que encontrar # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du #. Para encontrá-lo, você precisa da decomposição parcial da fração da função racional # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #.

# x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = (ax + b) / (x ^ 2 + 1) + (cx + d) / (x ^ 2 + 1) ^ 2 # com # a, b, c, d em RR #. Depois do cálculo, descobrimos que # x ^ 2 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 = 1 / (x ^ 2 + 1) - 1 / (x ^ 2 + 1) ^ 2 #, o que significa que # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (int (du) / (u ^ 2 + 1) - int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2) #

#int (du) / (u ^ 2 + 1) ^ 2 # é bem conhecido, é #arctan (u) / 2 + u / (2 (1 + u ^ 2)) #.

Finalmente, # 2intu ^ 2 / (u ^ 2 + 1) ^ 2du = 2 (arctan (u) - arctan (u) / 2 - u / (2 (1 + u ^ 2))) = arctan (u) - u / (1 + u ^ 2) #

Você substitui #você# pela sua expressão original com # x # Ter #intsqrt (x-1) / x ^ 2dx #, qual é #arctan (sqrt (x-1)) - sqrt (x-1) / x #

Então, finalmente # int_1 ^ 4sqrt (x-1) / x ^ 2dx = arctan (sqrt3) - sqrt3 / 4 #