Como resolver 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Responda:

Podemos resolver esta questão graficamente.

Explicação:

A equação dada # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # pode ser reescrito como

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Agora pegue esses dois como funções separadas

#f (x) = 2e ^ (x) # e #g (x) = 7-2 x # e traçar seu gráfico; seus ponto de intersecção será o solução para a equação dada # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

Isso é mostrado abaixo: -

Responda:

Este é além da álgebra do ensino médio, e a melhor maneira de resolvê-lo é perguntar a Wolfram Alpha quem responde #x aprox.94 #.

Explicação:

Resolver

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Perguntas como essa são, em geral, difíceis, e a resposta depende se você estiver em Álgebra no ensino médio ou mais profundamente em matemática.

Para o ensino médio, a melhor abordagem é tentar alguns números pequenos e ver se eles funcionam. (Isso funciona para muitos, muitos problemas de matemática do ensino médio, fyi.) Há realmente apenas um racional # x # isto faz # e ^ x # racional, # x = 0 #, o que não é uma solução. Então, adivinhando não vai funcionar aqui.

Se uma aproximação é boa o suficiente, podemos fazer um gráfico, ou gráfico # 2e ^ x # e # 7-2x # e veja onde eles se encontram.

Seja qual for o seu nível, quando se deparar com um duro como este, geralmente é uma boa jogada perguntar ao especialista disponível, que é o Wolfram Alpha.

Nós vemos que o Alpha nos deu uma resposta aproximada, bem próxima de 1, e até uma fórmula usando o W (x), que é o Lambert Product Log, que normalmente não faz parte da matemática do ensino médio.

Não há resposta usando funções e operações regulares que conhecemos na Álgebra do ensino médio. Isso geralmente é verdade quando adicionamos um termo com # x # em um expoente a um onde # x # aparece como um poder linear ou superior.

Esse é o fim da resposta para a maioria dos estudantes. Mas podemos ir mais fundo. O log do produto é uma função interessante.Considere a equação

#k = xe ^ x #

No lado direito é uma função crescente de # x #, então vai cruzar #k # cedo ou tarde. Levar o log não nos leva a lugar algum: #ln k = ln x + x #.

Precisamos de algo como um log, mas não aquele que é o inverso de # e ^ x #. Precisa ser o inverso de # xe ^ x #. Isso é chamado de Log do Produto ou a função Lambert W, definida como:

#k = xe ^ x # tem solução real #x = W (k) #.

Vamos restringir nossa atenção aos reais. É divertido tentar descobrir #W'#s propriedades. O fundamental que nos é dado é

#W (xe ^ x) = x #

Vamos deixar # x = ye ^ y # da seguinte maneira #W (x) = y #. Agora

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

Isso é legal. E se

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Levando troncos, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # assumindo logs são definidos

Agora que você vê como é trabalhar com o W, veja se você pode usá-lo para resolver a equação ou para verificar a solução do Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #