Como você diferencia f (x) = xe ^ (x-x ^ 2/2) usando a regra do produto?

Responda:

# e ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + x-x ^ 2) #

Explicação:

A propriedade do produto de diferenciação é declarada da seguinte forma:

#f (x) = u (x) * v (x) #

#color (azul) (f '(x) = u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

Na expressão dada, leve

# u = x e v = e ^ (x- (x ^ 2/2)) #

Nós temos que avaliar #u '(x) # e #v '(x) #

#u '(x) = 1 #

Conhecendo a derivada exponencial que diz:

# (e ^ y) '= y'e ^ y #

#v '(x) = (x- (x ^ 2/2))' e ^ (x- (x ^ 2/2)) #

#v '(x) = (1-x) e ^ (x- (x ^ 2/2)) #

#color (azul) (f '(x) = u' (x) v (x) + v '(x) u (x)) #

#f '(x) = 1 (e ^ (x- (x ^ 2/2))) + x (1-x) (e ^ (x- (x ^ 2/2))) #

Levando # e ^ (x- (x ^ 2/2)) # como fator comum:

#f '(x) = e ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + x (1-x)) #

#f '(x) = e ^ (x- (x ^ 2/2)) (1 + x-x ^ 2) #