Qual é a velocidade de uma partícula para t = 0 a t = 10 onde a aceleração é veca = 3t ^ 2 hati + 5t hatj- (8t ^ 3 + 400) hatk?

Responda:

Velocidade média: # 6.01 xx 10 ^ 3 # #"Senhora"#

Velocidade no tempo #t = 0 # # "s" #: #0# #"Senhora"#

Velocity at #t = 10 # # "s" #: # 2.40 xx 10 ^ 4 # #"Senhora"#

Explicação:

Eu suponho que você quer dizer o velocidade média de #t = 0 # para #t = 10 # # "s" #.

Recebemos os componentes da aceleração da partícula e pedimos para encontrar a velocidade média sobre a primeira #10# segundos do seu movimento:

#vecv_ "av" = (Deltavecr) / (10 "s") #

Onde

• #v_ "av" # é a magnitude da velocidade média e

• # Deltar # é a mudança na posição do objeto (de #0# # "s" # para #10# # "s" #).

Devemos, portanto, encontrar a posição do objeto nesses dois tempos.

Temos que derivar uma equação de posição a partir desta equação de aceleração, integrando-a duas vezes:

Primeira Integração:

#vecv = (t ^ 3) hati + (5 / 2t ^ 2) hatj - (2t ^ 4 + 400t) hatk # (velocidade)

Segunda integração:

#vecr = (1 / 4t ^ 4) hati + (5 / 6t ^ 3) hatj - (2 / 5t ^ 5 + 200t ^ 2) hatk # (posição)

A posição inicial é assumida como sendo a origem, então vamos ligar #10# para # t # na equação de posição:

#vecr = (2500) hati + (2500/3) hatk - (60000) hatk #

Podemos então dividir a equação de velocidade média em componentes:

#v_ "av-x" = (Deltax) / (10 "s") = (2500 "m") / (10 "s") = cor (vermelho) (250 # #color (vermelho) ("m / s" #

#v_ "av-y" = (Deltay) / (10 "s") = (2500/3 "m") / (10 "s") = cor (azul) (250/3 # #color (azul) ("m / s" #

#v_ "av-z" = (Deltaz) / (10 "s") = (-60000 "m") / (10 "s") = cor (verde) (- 6000 # #color (verde) ("m / s" #

Usando esses componentes, podemos encontrar a magnitude do vetor de velocidade média:

#v_ "av" = sqrt ((v_ "av-x") ^ 2 + (v_ "av-y") ^ 2 + (v_ "av-z") ^ 2) #

# = sqrt ((250 "m / s") ^ 2 + (250/3 "m / s") ^ 2 + (-6000 "m / s") ^ 2) #

# = cor (roxo) (6,01 x x 10 ^ 3 # #color (roxo) ("m / s" #

(Aqui está o instantâneo seção de velocidade).

Para encontrar as velocidades instantâneas em #t = 0 # e #t = 10 # # "s" #, vamos primeiro ligar estes tempos na equação de velocidade anteriormente integrada:

• #t = 0 # # "s" #

#vecv = ((0 "s") ^ 3) hati + (5/2 (0 "s") ^ 2) hatj - (2 (0 "s") ^ 4 + 400 (0 "s")) hatk #

# = cor (vermelho) (0 # #color (vermelho) ("m / s" #

• #t = 10 # # "s" #

#vecv = ((10 "s") ^ 3) hati + (5/2 (10 "s") ^ 2) hatj - (2 (10 "s") ^ 4 + 400 (10 "s")) hatk #

# = (1000 "m / s") hati + (250 "m / s") hatj - (24000 "m / s") hatk #

A magnitude dessa velocidade é assim

#v (10 "s") = sqrt ((1000 "m / s") ^ 2 + (250 "m / s") ^ 2 + (-24.000 "m / s") ^ 2) #

# = cor (azul) (2,40 x x 10 ^ 4 # #color (azul) ("m / s" #