Qual é a projeção de (i -2j + 3k) em (3i + 2j - 3k)?

Responda:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Explicação:

Para facilitar a referência a eles, vamos chamar o primeiro vetor #vec # e o segundo #vec v #. Queremos o projeto de #vec # para #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Isto é, em palavras, a projeção do vetor #vec # para vetor #vec v # é o produto de ponto dos dois vetores, dividido pelo quadrado do comprimento de #vec v # vetor de tempos #vec v #. Note que a peça dentro dos parênteses é um escalar que nos diz o quão longe ao longo da direção #vec v # a projeção chega.

Primeiro, vamos encontrar o comprimento de #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Mas note que na expressão o que realmente queremos é # || vec v || ^ 2 #, então se fecharmos os dois lados, #22#.

Agora precisamos do produto de ponto de #vec # e #vec v #:

#vec v * vec = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(para encontrar o produto ponto nós multiplicamos os coeficientes de #i, j ek # e adicione-os)

Agora temos tudo de que precisamos:

#proj_vec v vec u = ((vec v * vec) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j 3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #