Como faço para encontrar o int integral (x ^ 2 * sin (pix)) dx?

Usando a integração por partes,

# intx ^ 2sinpixdx #

#=#

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + c #

Lembre-se de que Integração por partes usa a fórmula:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

Qual é baseado fora da regra do produto para derivados:

#uv = vdu + udv #

Para usar essa fórmula, precisamos decidir qual termo será #você#, e qual será # dv #. Uma maneira útil de descobrir qual termo é onde está o ILATE método.

Trig inverso

Logaritmos

Álgebra

Trig

Exponenciais

Isso lhe dá uma ordem de prioridade de qual termo é usado para "#você#", então o que sobrar se torna nosso # dv #. Nossa função contém um # x ^ 2 # e um # sinpix #, então o método ILATE nos diz que # x ^ 2 # deve ser usado como nosso #você#, uma vez que é algébrico e mais alto na lista do que # sinpix #, que é trigonometria.

Nós agora temos:

#u = x ^ 2 #, #dv = sinpix #

Os próximos itens que precisamos na fórmula são "# du #"e"# v #", o que obtemos encontrando a derivada de"#você#"e o integral de"# dv #'.

A derivada é obtida usando a regra de potência:

# d / dxx ^ 2 = 2x = du #

Para a integral, podemos usar substituição.

usando #w = pix #, acabamos com # (- 1 / pi) cosw #

Nós agora temos:

#du = 2x dx #, #v = ## (- 1 / pi) cospix #

Conectando-nos à nossa fórmula original de Integração por Peças, temos:

# intu # # dv # = #uv - intv # # du #

#=#

# intx ^ 2sinpixdx = (-1 / pi) x ^ 2cospix - (-1 / pi) int2xcospixdx #

Agora ficamos com outra integral que devemos usar Integração por Partes mais uma vez para resolver. Ao puxar o #2# fora da integral, ficamos com #u = x #, #dv = cospix #. Ao passar pelo mesmo processo de antes, obtemos:

#intxcospixdx = (1 / pi) xsinpix - (1 / pi) intsinpixdx #

Este último integral nós podemos resolver com uma rodada final de substituição, nos dando:

# (1 / pi) intsinpixdx = (-1 / pi ^ 2) cospix #

Colocando tudo que encontramos juntos, agora temos:

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix - (-2 / pi) (1 / pi) xsinpix - (-1 / pi ^ 2) cospix #

Agora podemos simplificar os negativos e parênteses para obter nossa resposta final:

# intx ^ 2sinpixdx = #

# (- 1 / pi) x ^ 2cospix + ((2) / pi ^ 2) xsinpix + (2 / pi ^ 3) cospix + c #

A chave é lembrar que você vai acabar com uma cadeia de múltiplos termos sendo adicionados ou subtraídos juntos. Você está continuamente dividindo a integral em partes menores e gerenciáveis que você deve acompanhar para a resposta final.