Como faço para encontrar o integral int (ln (x)) ^ 2dx?

Nosso objetivo é reduzir o poder de #ln x # para que a integral seja mais fácil de avaliar.

Podemos conseguir isso usando integração por partes. Tenha em mente a fórmula do IBP:

#int u dv = uv - int v du #

Agora vamos deixar #u = (lnx) ^ 2 #e #dv = dx #.

Assim sendo, #du = (2lnx) / x dx #

e

#v = x #.

Agora, juntando as peças, conseguimos:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - int (2xlnx) / x dx #

Esta nova integral parece muito melhor! Simplificando um pouco e trazendo a constante para frente, produz:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 int lnx dx #

Agora, para se livrar dessa próxima integral, faremos uma segunda integração por partes, deixando #u = ln x # e #dv = dx #.

Portanto, #du = 1 / x dx # e #v = x #.

A montagem nos dá:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2 (xlnx - int x / x dx) #

Agora, tudo o que resta a fazer é simplificar, tendo em mente para adicionar a constante de integração:

#int (ln x) ^ 2 dx = x (ln x) ^ 2 - 2xlnx + 2x + c #

E aí temos que. Lembre-se, integração por partes é tudo sobre picking #você# para que as coisas bagunçadas sejam eliminadas do integrando. Neste caso nós trouxemos # (ln x) ^ 2 # até #ln x #e depois para baixo # 1 / x #. No final, alguns # x #é cancelado, e ficou mais fácil de integrar.