Como você encontra a derivada de tan (x - y) = x?

Responda:

# (dy) / (dx) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #

Explicação:

Eu estou supondo que você quer encontrar # (dy) / (dx) #. Para isso, primeiro precisamos de uma expressão para # y # em termos de # x #. Notamos que este problema tem várias soluções, desde #tan (x) # é uma função periódica #tan (x-y) = x # terá várias soluções. No entanto, como sabemos o período da função tangente (# pi #), podemos fazer o seguinte: # x-y = tan ^ (- 1) x + npi #, Onde #tan ^ (- 1) # é a função inversa da tangente dando valores entre #pi / 2 # e # pi / 2 # e o fator # npi # foi adicionado para dar conta da periodicidade da tangente.

Isso nos dá # y = x-tan ^ (- 1) x-npi #, assim sendo # (dy) / (dx) = 1-d / (dx) tan ^ (- 1) x #, note que o fator # npi # desapareceu. Agora precisamos encontrar # d / (dx) tan ^ (- 1) x #. Isso é bastante complicado, mas factível usando o teorema da função reversa.

Configuração # u = tan ^ (- 1) x #, temos # x = tanu = sinu / cosu #, assim # (dx) / (du) = (cos ^ 2u + sen ^ 2u) / cos ^ 2u = 1 / cos ^ 2u #, usando a regra do quociente e algumas identidades trigonométricas. Usando o teorema da função inversa (que afirma que se # (dx) / (du) # é contínua e diferente de zero, temos # (du) / (dx) = 1 / ((dx) / (du)) #), temos # (du) / (dx) = cos ^ 2u #. Agora precisamos expressar # cos ^ 2u # em termos de x.

Para fazer isso, usamos algumas trigonometria. Dado um triângulo retângulo com lados #abc# Onde # c # é a hipotenusa e # a, b # conectado ao ângulo direito. E se #você# é o ângulo onde lado # c # cruza o lado #uma#, temos # x = tanu = b / a #. Com os símbolos #abc# nas equações denotamos o comprimento dessas arestas. # cosu = a / c # e usando o teorema de Pitágoras, encontramos # c = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = asqrt (1+ (b / a) ^ 2) = asqrt (1 + x ^ 2) #. Isto dá # cosu = 1 / sqrt (1 + x ^ 2) #, assim # (du) / (dx) = 1 / (1 + x ^ 2) #.

Desde a # u = tan ^ (- 1) x #, podemos substituir isso em nossa equação por # (dy) / (dx) # e encontra # (dy) / (dx) = 1-1 / (1 + x ^ 2) = x ^ 2 / (1 + x ^ 2) #.