Responda:
Faça muita álgebra depois de aplicar a definição de limite para descobrir que a inclinação em # x = 3 # é #13#.
Explicação:
A definição do limite da derivada é:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Se avaliarmos esse limite para # 3x ^ 2-5x + 2 #, vamos ter uma expressão para o derivado desta função. A derivada é simplesmente a inclinação da linha tangente em um ponto; Então, avaliando o derivado em # x = 3 # nos dará a inclinação da linha tangente em # x = 3 #.
Com isso dito, vamos começar:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancelar (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-cancelar (5x) -5h + cancelar (2) -cancel (3x ^ 2) + cancelar (5x) -cancel (2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (cancelar (h) (6x + 3h-5)) / cancelar (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Avaliar este limite em # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Agora que temos a derivada, precisamos apenas conectar # x = 3 # para encontrar a inclinação da linha tangente lá:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Responda:
Veja a seção de explicação abaixo se o seu professor / livro didático usa #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Explicação:
Algumas apresentações de uso de cálculo, para a definição da inclinação da linha tangente ao gráfico de #f (x) # no ponto em que # x = a # é #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # desde que o limite exista.
(Por exemplo, a 8ª edição de James Stewart Cálculo p 106. Na página 107, ele dá o equivalente #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Com esta definição, a inclinação da linha tangente para o gráfico de #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # no ponto em que # x = 3 # é
#lim_ (xrarr3) (f (x) -f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Note que este limite tem forma indeterminada #0/0# Porque #3# é um zero do polinômio no numerador.
Desde a #3# é um zero, sabemos que # x-3 # é um fator. Então podemos fatorar, reduzir e tentar avaliar novamente.
# = lim_ (xrarr3) (cancelar ((x-3)) (3x + 4)) / cancelar ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
O limite é #13#, então a inclinação da linha tangente em # x = 3 # é #13#.
