Como você encontra a derivada de y = sin ^ 2x cos ^ 2x?

Responda:

# dy / dx = -2sinxcosx (sen ^ 2x-cos ^ 2x) #

Explicação:

Use a regra do produto:

E se # y = f (x) g (x) #, então

# dy / dx = f '(x) g (x) + g' (x) f (x) #

Assim, #f (x) = sin ^ 2x #

#g (x) = cos ^ 2x #

Use a regra da cadeia para encontrar as duas derivadas:

Lembre-se de que # d / dx (u ^ 2) = 2u * (du) / dx #

#f '(x) = 2sinxd / dx (sinx) = 2sinxcosx #

#g '(x) = 2cosxd / dx (cosx) = - 2sinxcosx #

Portanto, # dy / dx = 2sinxcosx (cos ^ 2x) -2sinxcosx (sin ^ 2x) #

# => - 2sinxcosx (sin ^ 2x-cos ^ 2x) #

Existe a identidade que # 2sinxcosx = sin2x #, mas essa identidade é mais confusa do que útil ao simplificar as respostas.

Responda:

Há algo que torna a resposta muito mais simples de encontrar.

Explicação:

Você também pode lembrar que #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #, portanto, uma nova expressão da função.

#f (x) = sen ^ 2 (x) cos ^ 2 (x) = sen (x) cos (x) sen (x) cos (x) = (sen (2x) / 2) ^ 2 = sen ^ 2 (2x) / 4 # que é muito mais fácil de derivar (1 quadrado em vez de 2).

O derivado de # u ^ n # é # n * u'u ^ (n-1) # e a derivada de #sin (2x) # é # 2cos (2x) #

assim #f '(x) = (4cos (2x) sin (2x)) / 4 = sin (4x) / 2 #.

A vantagem dessas identidades trigonométricas é para os físicos, eles podem encontrar todas as informações na onda que essa função representa. Eles também são muito úteis quando você precisa encontrar primitivas de funções trigonométricas.