Qual é a projeção de (4 i + 4 j + 2 k) para (i + j -7k)?

Responda:

A projeção vetorial é #< -2/17,-2/17,14/17 >#, a projeção escalar é # (- 2sqrt (51)) / 17 #. Ver abaixo.

Explicação:

Dado # veca = (4i + 4j + 2k) # e # vecb = (i + j-7k) #podemos encontrar #proj_ (vecb) veca #, a vetor projeção de # veca # para # vecb # usando a seguinte fórmula:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Ou seja, o produto escalar dos dois vetores dividido pela magnitude do # vecb #, multiplicado por # vecb # dividido por sua magnitude. A segunda quantidade é uma quantidade vetorial, pois dividimos um vetor por um escalar. Note que nós dividimos # vecb # pela sua magnitude, a fim de obter um vetor unitário (vetor com magnitude de #1#).Você pode notar que a primeira quantidade é escalar, já que sabemos que quando pegamos o produto escalar de dois vetores, o resultante é um escalar.

Portanto, o escalar projeção de #uma# para # b # é #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #também escrito # | proj_ (vecb) veca | #.

Podemos começar pegando o produto escalar dos dois vetores, que podem ser escritos como # veca = <4,4,2> # e # vecb = <1,1, -7> #.

# veca * vecb = <4,4,2> * <1,1, -7> #

#=> (4*1)+(4*1)+(2*-7)#

#=>4+4-14=-6#

Então podemos encontrar a magnitude de # vecb # tomando a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada um dos componentes.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((1) ^ 2 + (1) ^ 2 + (- 7) ^ 2) #

# => sqrt (1 + 1 + 49) = sqrt (51) #

E agora temos tudo o que precisamos para encontrar a projeção vetorial de # veca # para # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 6) / sqrt (51) * (<1,1, -7>) / sqrt (51) #

#=>(-6 < 1,1,-7 >)/51#

#=>-2/17< 1,1,-7 >#

Você pode distribuir o coeficiente para cada componente do vetor e escrever como:

#=>< -2/17,-2/17,+14/17 >#

A projeção escalar de # veca # para # vecb # é apenas a primeira metade da fórmula, onde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Portanto, a projeção escalar é # -6 / sqrt (51) #, o que não simplifica mais, além de racionalizar o denominador, se desejado, dando # (- 6sqrt (51)) / 51 => (-2sqrt (51)) / 17 #

Espero que ajude!