Qual é a área da superfície do sólido criada pela rotação de f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x in [1,3] ao redor do eixo x?

Responda:

Determine o sinal, depois integre por partes. Área é:

# A = 39,6345 #

Explicação:

Você tem que saber se #f (x) # é negativo ou positivo em #1,3#. Assim sendo:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Para determinar um sinal, o segundo fator será positivo quando:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Desde a # e ^ x> 0 # para qualquer #x em (-oo, + oo) # a desigualdade não muda:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Portanto, a função só é positiva quando x é negativo e vice-versa. Desde que há também um # x # fator em #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Quando um fator é positivo, o outro é negativo, então f (x) é sempre negativo. Portanto, a área:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3- e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Usando a calculadora:

# A = 39,6345 #

Responda:

Área = 11.336,8 unidades quadradas

Explicação:

o dado #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

por simplicidade vamos #f (x) = y #

e # y = xe ^ -x -xe ^ x #

o primeiro derivado # y '# é necessário no cálculo da área de superfície.

Área # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Onde # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Área # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Determinar a primeira derivada # y '#:

diferenciar # y = x (e ^ -x - e ^ x) # usando o derivado da fórmula do produto

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

após simplificação e factoring, o resultado é

o primeiro derivado # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Compute agora a área:

Area = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Área # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Área

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Para integrais complicadas como essa, podemos usar a Regra de Simpson:

de modo a

Área

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Área = -11,336.804

isso envolve a direção da revolução, de modo que possa haver área de superfície negativa ou área de superfície positiva. Vamos apenas considerar o valor positivo Área = 11336.804 unidades quadradas