Qual é o significado da derivada parcial? Dê um exemplo e me ajude a entender em breve.

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Espero que ajude.

A derivada parcial está intrinsecamente associada à variação total.

Suponha que tenhamos uma função #f (x, y) # e queremos saber o quanto isso varia quando introduzimos um incremento em cada variável.

Corrigindo idéias, fazendo #f (x, y) = k x y # nós queremos saber quanto é

#df (x, y) = f (x + dx, y + d) -f (x, y) #

Em nosso exemplo de função, temos

#f (x + dx, y + d) = k (x + dx) (y + d) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy #

e depois

#df (x, y) = k x y + k x dx + k y dy + k dx dy-k x y = k x dx + k y dy + k dx dy #

Escolhendo #dx, dy # arbitrariamente pequeno então #dx dy approx 0 # e depois

#df (x, y) = k x dx + k y dy #

mas geralmente

#df (x, y) = f (x + dx, y + d) -f (x, y) = 1/2 (2 f (x + dx, y + d) -2f (x, y) + f (x + dx, y) -f (x + dx, y) + f (x, y + dy) -f (x, y + dy)) = #

# = 1/2 (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx dx +1 / 2 (f (x, y + dy) -f (x, y)) / dy dy + #

# + 1/2 (f (x + dx, y + d) -f (x, y + d)) / dx dx + 1/2 (f (x + dx, y + d) f (x + dx), y)) / dy dy #

agora fazendo #dx, dy # arbitrariamente pequeno nós temos

#df (x, y) = 1/2 (2f_x (x, y) dx + 2f_y (x, y) d) = f_x (x, y) dx + f_a (x, y) dy #

então podemos calcular a variação total para uma dada função, calculando as derivadas parciais #f_ (x_1), f_ (x_2), cdots, f_ (x_n) # e composição

#df (x_1, x_2, cdots, x_n) = f_ (x_1) dx_1 + cdots + f_ (x_n) dx_n #

Aqui, as quantidades #f_ (x_i) # são chamados de derivadas parciais e também podem ser representados como

# (parcial f) / (parcial x_i) #

No nosso exemplo

#f_x = (parcial f) / (parcial x) = k x # e

#f_y = (parcial f) / (parcial y) = k y #

NOTA

#f_x (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (d-> 0)) (f (x + dx, y) -f (x, y)) / dx = lim _ ((dx-> 0), (d-> 0)) (f (x + dx, y + d) -f (x, y)) / dx #

#f_y (x, y) = lim _ ((dx-> 0), (d-> 0)) (f (x, y + d) -f (x, y)) / dy = lim _ ((dx-> 0), (d-> 0)) (f (x + dx, y + d) -f (x, y)) / dy #

Responda:

Ver abaixo.

Explicação:

Para suplementar a resposta de Cesareo acima, fornecerei uma definição introdutória menos matematicamente rigorosa.

A derivada parcial, falando livremente, nos diz o quanto uma função multi-variável vai mudar quando mantendo outras variáveis constantes. Por exemplo, suponha que nos seja dado

#U (A, t) = A ^ 2t #

Onde #VOCÊ# é a função utilidade (felicidade) de um determinado produto, #UMA# é a quantidade de produto e # t # é a hora em que o produto é usado.

Suponha que a empresa que fabrica o produto gostaria de saber quanto mais utilidade obteria se aumentasse a vida útil do produto em 1 unidade. A derivada parcial dirá à empresa esse valor.

A derivada parcial é geralmente indicada pela letra minúscula grega delta (#parcial#), mas existem outras notações. Nós estaremos usando #parcial# para agora.

Se estamos tentando descobrir o quanto a utilidade do produto muda com o aumento de 1 unidade no tempo, estamos computando a derivada parcial da utilidade em relação ao tempo:

# (partialU) / (partialt) #

Para calcular o PD, nós mantemos outras variáveis constantes. Neste caso, nós tratamos # A ^ 2 #, a outra variável, como se fosse um número. Lembre-se do cálculo introdutório de que a derivada de uma constante vezes uma variável é apenas a constante. É a mesma ideia aqui: a derivada (parcial) de # A ^ 2 #, uma constante, vezes # t #, a variável, é apenas a constante:

# (partialU) / (partialt) = A ^ 2 #

Assim, um aumento de 1 unidade no tempo em que o produto é usado produz # A ^ 2 # mais utilidade. Em outras palavras, o produto se torna mais satisfatório se puder ser usado com mais frequência.

Há muito, muito mais a ser dito sobre derivadas parciais - na verdade, cursos completos de graduação e pós-graduação podem ser dedicados a resolver apenas alguns tipos de equações envolvendo derivadas parciais - mas a ideia básica é que a derivada parcial nos diz quanto mudanças de variáveis quando os outros permanecem iguais.