Quais são os exemplos de funções que não podem ser integradas?

Isso depende do que você quer dizer. Quer dizer que você não consegue encontrar uma fórmula para uma antiderivada? Ou você quer dizer que a integral definida não existe?

Algumas funções, como #sin (x ^ 2) #, tem antiderivatives que não têm fórmulas simples envolvendo um número finito de funções que você está acostumado a partir de pré-cálculo (eles têm antiderivatives, apenas sem fórmulas simples para eles). Suas antiderivadas não são "elementares".

Outras funções, como uma função #f (x) # que é igual a 1 quando # x # é racional e 0 quando # x # é irracional não é "Riemann integrável" sobre qualquer intervalo fechado # a, b #. O problema está no fato de que, para uma dada partição do intervalo, você pode sempre escolher pontos de amostragem que sejam todos irracionais ou todos racionais, o que levará a somas que não convergem para a mesma resposta que os subintervalos recebem. menor.

Esta última função é, no entanto, "Lebesgue integrable" (pronuncia-se "Lah-bagh" com um longo som "a" na segunda sílaba). Não vou entrar em detalhes, mas em poucas palavras, existem muitas "teorias de integração" em relação às quais uma determinada função pode ser integrável ou não.