A função de velocidade é v (t) = –t ^ 2 + 3t - 2 para uma partícula se movendo ao longo de uma linha. Qual é o deslocamento (distância líquida percorrida) da partícula durante o intervalo de tempo [-3,6]?

Responda:

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt = 103,5 #

Explicação:

A área sob uma curva de velocidade é equivalente à distância percorrida.

#int _ (- 3) ^ 6 v (t) dt #

# = int _ (- 3) ^ 6 -t ^ 2 + 3t-2color (branco) ("X") dt #

# = - 1 / 3t ^ 3 + 3 / 2t ^ 2-2t | _color (azul) ((- 3)) ^ cor (vermelho) (6) #

# = (cor (vermelho) (- 1/3 (6 ^ 3) +3/2 (6 ^ 2) -2 (6))) - (cor (azul) (- 1/3 (-3) ^ 3 +3/2 (-3) ^ 2-2 (-3)) #

#=114 -10.5#

#=103.5#

Responda:

A questão original é um pouco confusa, pois implica que o deslocamento e a distância são a mesma coisa, o que não é.

Eu configurei a integração necessária para cada caso diferente.

Explicação:

Distância total (quantidade escalar que representa o comprimento real do caminho) é dada pela soma das integrais parciais

# x = int _ (- 3) ^ 1 (0 - (- t ^ 2 + 3t-2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt + int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

Deslocamento total (quantidade vetorial representando linha reta traçada do início ao fim do movimento) é dada em magnitude pela seguinte integral

# | vecx | = -int _ (- 3) ^ 1 (t ^ 2-3t + 2) dt + int_1 ^ 2 (-t ^ 2 + 3t-2) dt-int_2 ^ 6 (t ^ 2-3t + 2) dt #

O gráfico da função velocidade com o tempo deixa claro porque essas integrais precisam ser configuradas para que as regras vetoriais sejam obedecidas e as definições sejam satisfeitas.

gráfico {-x ^ 2 + 3x-2 -34,76, 38,3, -21,53, 14,98}