Como você encontra a derivada de y = Arcsin ((3x) / 4)?

Responda:

# dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Explicação:

Você precisará usar a regra da cadeia. Lembre-se de que a fórmula para isso é:

#f (g (x)) '= f' (g (x)) * g '(x) #

A idéia é que você tome a derivada da função mais externa primeiro, e então apenas trabalhe dentro dela.

Antes de começarmos, vamos identificar todas as nossas funções nesta expressão. Nós temos:

• #arcsin (x) #

• # (3x) / 4 #

#arcsin (x) # é a função mais externa, então vamos começar tomando a derivada disso. Assim:

# dy / dx = cor (azul) (d / dx arcsin (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) #

Observe como ainda estamos preservando isso # ((3x) / 4) # lá. Lembre-se, ao usar a regra da cadeia, você diferencia-se de fora, mas ainda assim mantenha as funções internas ao diferenciar os exteriores.

# (3x) / 4 # é a nossa próxima função mais externa, então precisamos rotular a derivada disso também. Assim:

#color (cinza) (dy / dx = d / dx arco-íris (3x / 4) = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2))) * cor (azul) (d / dx ((3x) / 4)) #

# => dy / dx = 1 / (sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2)) * (3/4) #

E esse é o fim da parte de cálculo para este problema! Tudo o que resta é fazer alguma simplificação para arrumar essa expressão, e acabamos com:

# => dy / dx = 3 / (sqrt (16 - (9x ^ 2))) #

Se você quiser ajuda adicional na Regra da Cadeia, sugiro que veja alguns dos meus vídeos sobre o assunto:

Espero que tenha ajudado:)

Responda:

Dado: #color (azul) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

#color (verde) (d / (dx) sen ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #

Explicação:

Dado:

#color (azul) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Função Composição está aplicando uma função aos resultados de outra:

Observe que o argumento da função trigonométrica #sin ^ (- 1) ("") # também é uma função.

o Regra da Cadeia é uma regra para diferenciar composições de funções como o que nós temos.

Regra da Cadeia:

#color (vermelho) (dy / (dx) = (dy / (du)) * ((du) / (dx)) "" # (ou)

#color (azul) (d / (dx) f {g (x)} = f 'g (x) * g' x #

Nos é dado

#color (azul) (y = f (x) = sin ^ (- 1) ((3x) / 4) #

Deixei, #f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" e "" u = (3x) / 4 #

#color (verde) (passo 1 #

Vamos diferenciar

#f (x) = sin ^ (- 1) (u) "" # Função.1

usando o resultado derivativo comum:

#color (marrom) (d / (dx) sin ^ (- 1) (x) = 1 / sqrt (1-x ^ 2 #

Usando o resultado acima podemos diferenciar Função.1 acima como

# d / (du) sin ^ (- 1) (u) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) "" # Resultado.1

#color (verde) (passo 2

Nesta etapa, vamos diferenciar o dentro da função # (3x) / 4 #

# d / (dx) ((3x) / 4) #

Puxe a constante para fora

#rArr 3/4 * d / (dx) (x) #

#rArr 3/4 * 1 #

#rArr 3/4 #

#:. d / (dx) ((3x) / 4) = 3/4 "" #Resultado.2

#color (verde) (passo 3

Nós vamos usar os dois resultados intermediários, Resultado.1 e Resultado.2 para prosseguir.

Nós vamos começar com

#color (verde) (d / (dx) sen ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1-u ^ 2) * (3/4) #

Substituir de volta #color (marrom) (u = ((3x) / 4) #

Então, #color (verde) (d / (dx) sen ^ (- 1) ((3x) / 4) = 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) * (3/4) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((3x) / 4) ^ 2) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt (1 - ((9x ^ 2) / 16)) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / 16) #

#rArr (3/4) * 1 / sqrt ((16-9x ^ 2) / (4 ^ 2)) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2)) / (sqrt ((4 ^ 2))) #

#rArr (3/4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * 4 #

#rArr (3 / cancel 4) * 1 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) * cancelar 4 #

#rArr 3 / (sqrt ((16-9x ^ 2))) #

Assim, nossa resposta final pode ser escrita como

#color (verde) (d / (dx) sen ^ (- 1) ((3x) / 4) = 3 / sqrt (16-9x ^ 2) #