Responda:
A integral definida é # 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #.
Explicação:
Há sempre várias maneiras de abordar problemas de integração, mas é assim que resolvi esse problema:
Sabemos que a equação do nosso círculo é:
# x ^ 2 + y ^ 2 = 25 #
Isso significa que para qualquer # x # valor podemos determinar os dois # y # valores acima e abaixo desse ponto no eixo x usando:
# y ^ 2 = 25 - x ^ 2 #
#y = sqrt (25-x ^ 2) #
Se imaginarmos que uma linha desenhada a partir do topo do círculo para o fundo com constante # x # valor em qualquer ponto, terá um comprimento do dobro # y # valor dado pela equação acima.
# r = 2sqrt (25 - x ^ 2) #
Desde que estamos interessados na área entre a linha #x = 3 # e o fim do círculo em #x = 5 #esses serão nossos limites integrais. A partir desse ponto, escrever a integral definida é simples:
#A = int_3 ^ 5rdx = 2int_3 ^ 5sqrt (25 - x ^ 2) dx #
Responda:
Como alternativa, na polar
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
Explicação:
você pode fazer isso em polar também
o círculo na polar é r = 5 e usando a formulação mais simples da área #A = 1/2 int r ^ 2 (psi) d psi # torna-se, usando a simetria sobre o eixo x
#A = 2 vezes (1/2 int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} 5 ^ 2 d psi - cor {red} {1/2 * 3 * 4}) #
onde o bit vermelho é como mostrado sombreado em vermelho no desenho
# = 25int_ {0} ^ {arcsin (4/5)} d psi - 12 #
# = 25 psi _ {0} ^ {arcsin (4/5)} - 12 #
# = 25 arcsin (4/5) - 12 #
