Resolva o machado ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Responda:

Um esboço rápido …

Explicação:

Dado:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # com #a! = 0 #

Isso fica confuso rapidamente, então vou apenas dar um esboço de um método …

Multiplique por # 256a ^ 3 # e substituto #t = (4ax + b) # para obter um quartic monic deprimido da forma:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Observe que, como isso não tem prazo # t ^ 3 #, deve fatorar no formulário:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-Em + B) (t ^ 2 + At + C) #

#color (branco) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Equacionando coeficientes e rearranjando um pouco, temos:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Então nós encontramos:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#color (branco) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#color (branco) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Multiplicando, multiplicando por # A ^ 2 # e reorganizando um pouco, isso se torna:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Este "cúbico em # A ^ 2 #"tem pelo menos uma raiz real. O ideal é ter uma raiz real positiva que produz dois possíveis valores reais para #UMA#. Independentemente disso, qualquer raiz do cúbico fará.

Dado o valor de #UMA#, temos:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Por isso, temos dois quadráticos para resolver.