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Explicação:
Primeiro, devemos começar com uma equação que sabemos relacionando a área de um círculo, o conjunto e seu raio:
# A = pir ^ 2 #
No entanto, queremos ver o quão rápido a área da piscina está aumentando, o que parece muito com a taxa … que soa muito como um derivado.
Se tomarmos a derivada de
# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #
(Não esqueça que a regra da corrente se aplica no lado direito, com
Então, nós queremos determinar
# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40 pi #
Para colocar isso em palavras, dizemos que:
A área da piscina está aumentando a uma taxa de
# bb40pi # cm# "" ^ bb2 # / min quando o raio do círculo é# bb5 # cm.
A altitude de um triângulo está aumentando a uma taxa de 1,5 cm / min enquanto a área do triângulo está aumentando a uma taxa de 5 cm / min. Em que taxa a base do triângulo muda quando a altitude é de 9 cm e a área é de 81 cm quadrados?
Este é um problema de tipo de taxas relacionadas (de alteração). As variáveis de interesse são a = altitude A = área e, como a área de um triângulo é A = 1 / 2ba, precisamos de b = base. As taxas de mudança dadas são em unidades por minuto, então a variável independente (invisível) é t = tempo em minutos. Nós recebemos: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm "" ^ 2 / min E nos pedem para encontrar (db) / dt quando a = 9 cm e A = 81cm "" ^ 2 A = 1 / 2ba, diferenciando em relação a t, obtemos: d / dt (A) = d / dt
O zoológico tem dois tanques de água que estão vazando. Um tanque de água contém 12 litros de água e está vazando a uma taxa constante de 3 g / h. O outro contém 20 galões de água e está vazando a uma taxa constante de 5 g / h. Quando os dois tanques terão a mesma quantidade?
4 horas. Primeiro tanque tem 12g e está perdendo 3g / hr Segundo tanque tem 20g e está perdendo 5g / h Se representarmos o tempo por t, poderíamos escrever isso como uma equação: 12-3t = 20-5t Resolvendo para t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 h. Neste momento ambos os tanques terão esvaziado simultaneamente.
A água está vazando de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10.000 cm3 / min ao mesmo tempo em que a água é bombeada para o tanque a uma taxa constante Se o tanque tiver uma altura de 6m e o diâmetro na parte superior é de 4m se o nível da água estiver subindo a uma velocidade de 20 cm / min quando a altura da água é de 2m, como você encontra a taxa na qual a água está sendo bombeada para o tanque?
Seja V o volume de água no tanque, em cm ^ 3; seja h a profundidade / altura da água, em cm; e seja r o raio da superfície da água (no topo), em cm. Como o tanque é um cone invertido, o mesmo acontece com a massa de água. Uma vez que o tanque tem uma altura de 6 me um raio no topo de 2 m, triângulos semelhantes implicam que frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 de modo que h = 3r. O volume do cone invertido de água é então V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Agora diferencie ambos os lados em relação ao tempo t (em minutos) para obter frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {