Qual é o alcance de uma função quadrática?

Responda:

O alcance de #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # é:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "se" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "se" a <0):} #

Explicação:

Dada uma função quadrática:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # com #a! = 0 #

Podemos completar o quadrado para encontrar:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Para valores reais de # x # o termo quadrado # (x + b / (2a)) ^ 2 # não é negativo, tendo seu valor mínimo #0# quando #x = -b / (2a) #.

Então:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

E se #a> 0 # então este é o valor mínimo possível de #f (x) # e a gama de #f (x) # é # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

E se #a <0 # então este é o valor máximo possível de #f (x) # e a gama de #f (x) # é # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Outra maneira de ver isso é deixar #y = f (x) # e ver se há uma solução para # x # em termos de # y #.

Dado:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Subtrair # y # de ambos os lados para encontrar:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

O discriminante #Delta# desta equação quadrática é:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4ay #

Para ter soluções reais, precisamos #Delta> = 0 # e entao:

# (b ^ 2-4ac) + 4ay> = 0 #

Adicionar # 4ac-b ^ 2 # para ambos os lados para encontrar:

# 4ay> = 4ac-b ^ 2 #

E se #a> 0 # então podemos simplesmente dividir ambos os lados por # 4a # para obter:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

E se #a <0 # então podemos dividir ambos os lados por # 4a # e inverta a desigualdade para obter:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #