Em que circunstâncias não-triviais faz (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2?

Responda:

Sob a circunstância de que # AB = 0 #

Nós queremos encontrar quando # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #.

Começamos expandindo o lado esquerdo usando a fórmula quadrada perfeita

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + 2AB + B ^ 2 #

Então nós vemos isso # (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 # se assim # 2AB = 0 #

Ver abaixo.

E se #A, B # são vetores então

# (A + B) cdot (A + B) = norma (A) ^ 2 + 2 A cdot B + norma (B) ^ 2 = norma (A) ^ 2 + norma (B) ^ 2 #

então necessariamente #A cdot B = 0 rArr Um bot B # assim # A, B # são ortogonais.

Algumas possibilidades …

Dado:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #

Algumas possibilidades …

Campo de característica #2#

Em um campo de característica #2#, qualquer múltiplo de #2# é #0#

Assim:

# (A + B) ^ 2 = A ^ 2 + cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (2AB))) + B ^ 2 = A ^ 2 + B ^ 2 #