Qual é a projeção de (3i + 2j - 6k) para (3i - 4j + 4k)?

Responda:

A projeção vetorial é #< -69/41,92/41,-92/41 >#, a projeção escalar é # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Explicação:

Dado # veca = (3i + 2j-6k) # e # vecb = (3i-4j + 4k) #podemos encontrar #proj_ (vecb) veca #, a vetor projeção de # veca # para # vecb # usando a seguinte fórmula:

#proj_ (vecb) veca = ((veca * vecb) / (| vecb |)) vecb / | vecb | #

Ou seja, o produto escalar dos dois vetores dividido pela magnitude do # vecb #, multiplicado por # vecb # dividido por sua magnitude. A segunda quantidade é uma quantidade vetorial, pois dividimos um vetor por um escalar. Note que nós dividimos # vecb # pela sua magnitude, a fim de obter um vetor unitário (vetor com magnitude de #1#). Você pode notar que a primeira quantidade é escalar, já que sabemos que quando pegamos o produto escalar de dois vetores, o resultante é um escalar.

Portanto, o escalar projeção de #uma# para # b # é #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #também escrito # | proj_ (vecb) veca | #.

Podemos começar pegando o produto escalar dos dois vetores, que podem ser escritos como # veca = <3,2, -6> # e # vecb = <3, -4,4> #.

# veca * vecb = <3,2, -6> * <3, -4,4> #

#=> (3*3)+(2*-4)+(-6*4)#

#=>9-8-24=-23#

Então podemos encontrar a magnitude de # vecb # tomando a raiz quadrada da soma dos quadrados de cada um dos componentes.

# | vecb | = sqrt ((b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2) #

# | vecb | = sqrt ((3) ^ 2 + (- 4) ^ 2 + (4) ^ 2) #

# => sqrt (9 + 16 + 16) = sqrt (41) #

E agora temos tudo o que precisamos para encontrar a projeção vetorial de # veca # para # vecb #.

#proj_ (vecb) veca = (- 23) / sqrt (41) * (<3, -4,4>) / sqrt (41) #

#=>(-23 < 3,-4,4 >)/41#

#=>-23/41< 3,-4,4 >#

Você pode distribuir o coeficiente para cada componente do vetor e escrever como:

#=>< -69/41,92/41,-92/41 >#

A projeção escalar de # veca # para # vecb # é apenas a primeira metade da fórmula, onde #comp_ (vecb) veca = (a * b) / (| b |) #. Portanto, a projeção escalar é # -23 / sqrt (41) #, o que não simplifica mais, além de racionalizar o denominador, se desejado, dando # (- 23sqrt (41)) / 41 #.

Espero que ajude!