Qual é o antiderivado de 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2?

Responda:

# 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #

Explicação:

Então aqui temos a integral:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

E a forma de reciprocidade quadrática parece sugerir que a substituição trigonométrica funcionaria aqui. Então, primeiro complete o quadrado para obter:

# x ^ 2-2x + 2 = (x-1) ^ 2 + 1 #

Em seguida, aplique a substituição #u = x-1 # para remover o linear:

# (du) / dx = 1 #

#rArr du = dx #

Assim, podemos alterar variáveis com segurança, sem efeitos colaterais indesejados:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = int 1 / ((x-1) ^ 2 +1) ^ 2 dx #

# - = int 1 / (u ^ 2 + 1) ^ 2 du #

Agora, esta é a forma ideal para executar uma substituição trigonométrica; # u ^ 2 + 1 # sugere a identidade pitagórica # 1 + tan ^ 2theta = sec ^ 2theta #, então aplicamos a substituição #u = tantheta # para simplificar o denominador:

# (du) / (d theta) = sec ^ 2 theta #

#rArr du = sec ^ 2 theta d theta #

Então a integral se torna:

#int 1 / (sec ^ 2 theta) ^ 2 * seg ^ 2 theta d theta #

# = int 1 / (sec ^ 2 theta) d theta #

# - = int cos ^ 2 theta d theta #

Agora, usamos a fórmula de duplo ângulo para # cos # para tornar esta antiderivada mais gerenciável:

#cos (2theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 #

#hArr cos ^ 2 theta = 1/2 (cos (2 theta) + 1) #

Então coloque isso na integral:

# 1/2 int cos (2 theta) + 1 d theta #

# = 1/2 (theta + 1/2 sin (2 theta)) + c # (e reabrir isso com a fórmula de duplo ângulo para #pecado#)

# = 1/2 theta + 1 / 2sinthetacostheta + c #

Agora, # x-1 = u = tan teta #

#rArr theta = arctan (x-1) #

# 1 + (x-1) ^ 2 = sec ^ 2 theta #

#rArr cos theta = 1 / sqrt (x ^ 2 - 2x +2) #

#sin theta = tan theta * cos theta #

#rArr sin theta = (x-1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 2) #

#:. sintheta * costheta = (x-1) / (x ^ 2-2x + 2) #

Finalmente, chegando ao ponto:

#int 1 / (x ^ 2-2x + 2) ^ 2 dx #

# = 1 / 2arctan (x-1) + (x-1) / (2 (x ^ 2-2x + 2)) + c #