Fox perguntou que sua classe é a soma de 4,2 e raiz quadrada de 2 racional ou irracional? Patrick respondeu que a soma seria irracional. Indique se Patrick está correto ou incorreto. Justifique seu raciocínio.

Responda:

A soma # 4.2 + sqrt2 # é irracional; ele herda a propriedade de expansão decimal que nunca se repete #sqrt 2 #.

Explicação:

A Número irracional é um número que não pode ser expresso como uma razão de dois inteiros. Se um número é irracional, sua expansão decimal continua indefinidamente sem um padrão e vice-versa.

Nós já sabemos que #sqrt 2 # é irracional. Sua expansão decimal começa:

#sqrt 2 = 1,414213562373095 … #

O número #4.2# é racional; pode ser expresso como #42/10.# Quando adicionamos 4,2 à expansão decimal de #sqrt 2 #, Nós temos:

#sqrt 2 + 4,2 = cor (branco) + 1,414213562373095 … #

#color (branco) (sqrt 2) cor (branco) + cor (branco) (4.2 =) + 4.2 #

#color (branco) (sqrt 2) cor (branco) + cor (branco) (4.2 =) bar (cor (branco) (+) 5.614213562373095 …) #

É facilmente visto que esta soma também não termina nem tem um padrão de repetição, por isso também é irracional.

Em geral, a soma de um número racional e um número irracional sempre será irracional; o argumento é semelhante ao acima.

Responda:

#color (azul) ("correto") #

Explicação:

Se começarmos dizendo que a soma é racional: todos os números racionais podem ser escritos como o quociente de dois inteiros # a / bcolor (branco) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

O produto de dois inteiros é um inteiro:

A diferença de dois inteiros é um inteiro:

Assim:

# 5a-21b # é um inteiro.

# 5b # é um inteiro.

Conseqüentemente:

# (5a-21b) / (5b) # é racional.

Mas nós sabemos que #sqrt (2) # é irracional, então isso é uma contradição de nossa suposição de que a soma era racional, portanto a soma de um número irracional e um número racional é sempre irracional.