Como você usa o teste de comparação de limite para soma 1 / (n + sqrt (n)) para n = 1 a n = oo?

Responda:

#sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # divergir, isso pode ser visto comparando-o com #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) #.

Explicação:

Como esta série é uma soma de números positivos, precisamos encontrar uma série convergente #sum_ (n = 1) ^ (oo) a_n # de tal modo que #a_n> = 1 / (n + sqrt (n)) # e concluir que nossa série é convergente, ou precisamos encontrar uma série divergente #a_n <= 1 / (n + sqrt (n)) # e concluímos nossa série como divergente também.

Nós observamos o seguinte:

Para

#n> = 1 #, #sqrt (n) <= n #.

Assim sendo

# n + sqrt (n) <= 2n #.

assim

# 1 / (n + sqrt (n))> = 1 / (2n) #.

Como é sabido que #sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # diverge, então #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) # também diverge, pois se convergir, então # 2sum_ (n = 1) ^ oo1 / (2n) = sum_ (n = 1) ^ oo1 / n # convergiria também, e este não é o caso.

Agora, usando o teste de comparação, vemos que #sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrt (n)) # diverge.

O teste de comparação de limite leva duas séries, # suma_n # e # sumb_n # Onde #a_n> = 0 #, # b_ngt0 #.

E se #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = L # Onde #L> 0 # e é finito, então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem.

Devemos deixar # a_n = 1 / (n + sqrtn) #, a seqüência da série dada. Um bem # b_n # escolha é a função avassaladora que #a# abordagens como # n # torna-se grande. Então deixe # b_n = 1 / n #.

Observe que # sumb_n # diverge (é a série harmônica).

Então, nós vemos isso #lim_ (nrarroo) a_n / b_n = lim_ (nrarroo) (1 / (n + sqrtn)) / (1 / n) = lim_ (nrarroo) n / (n + sqrtn) #. Continuando dividindo por meio de # n / n #, isso se torna #lim_ (nrarroo) 1 / (1 + 1 / sqrtn) = 1/1 = 1 #.

Como o limite é #1#, qual é #>0# e definido, vemos que # suma_n # e # sumb_n # ambos divergirão ou convergirão. Já que nós já sabemos # sumb_n # diverge, podemos concluir que # suma_n = sum_ (n = 1) ^ oo1 / (n + sqrtn) # diverge também.