Três varetas, cada uma com massa M e comprimento L, são unidas para formar um triângulo equilátero. Qual é o momento de inércia de um sistema em torno de um eixo que passa por seu centro de massa e perpendicular ao plano do triângulo?

Responda:

# 1/2 ML ^ 2 #

Explicação:

O momento de inércia de uma única haste em torno de um eixo que passa pelo seu centro e perpendicular a ela é

# 1/12 ML ^ 2 #

A de cada lado do triângulo equilátero em torno de um eixo que passa pelo centro do triângulo e perpendicular ao seu plano é

# 1 / 12ML ^ 2 + M (L / (2sqrt3)) ^ 2 = 1/6 ML ^ 2 #

(pelo teorema do eixo paralelo).

O momento de inércia do triângulo sobre este eixo é então

# 3times 1/6 ML ^ 2 = 1/2 ML ^ 2 #

Assumindo que as hastes sejam finas, a posição do centro de massa de cada haste está no centro da haste. Como as hastes formam um triângulo equilátero, o centro de massa do sistema estará no centroide do triângulo.

Deixei # d # distância do centróide de qualquer um dos lados.

# d / (L / 2) = tan30 #

# => d = L / 2tan30 #

# => d = L / (2sqrt3) # …..(1)

O momento de inércia de uma única haste em torno de um eixo que passa pelo centróide perpendicular ao plano do triângulo usando a forma de eixo paralelo é

#I_ "rod" = I_ "cm" + Md ^ 2 #

Existem três hastes colocadas de forma semelhante, portanto, o momento total de inércia de três hastes seria

#I_ "system" = 3 (I_ "cm" + Md ^ 2) #

# => I_ "system" = 3I_ "cm" + 3Md ^ 2 # …….(2)

O segundo termo usando (1) é

# 3Md ^ 2 = 3M (L / (2sqrt3)) ^ 2 #

# => 3Md ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # …..(3)

Como o momento de inércia de uma haste em torno de seu centro de massa é

#I_ "cm" = 1 / 12ML ^ 2 #

O primeiro termo em (2) torna-se

# 3I_ "cm" = 3xx1 / 12ML ^ 2 = 1 / 4ML ^ 2 # ….(4)

Usando (3) e (4), a equação (2) torna-se

#I_ "sistema" = 1 / 4ML ^ 2 + 1 / 4ML ^ 2 = 1 / 2ML ^ 2 kgm ^ 2 #