A equação x ^ 4 -2x ^ 3-3x ^ 2 + 4x-1 = 0 tem quatro raízes reais distintas x_1, x_2, x_3, x_4 tais que x_1

Responda:

#-3#

Explicação:

Expansão

# (x + x_1) (x + x_2) (x + x_3) (x + x_4) # e comparando nós temos

# {(x_1x_2x_3x_4 = -1), (x_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = 4), (x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = -3), (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -2):} #

Analisando agora

# x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 + (x_2x_3 + x_1x_4) #

Escolhendo # x_1x_4 = 1 # segue # x_2x_3 = -1 # (veja a primeira condição)

conseqüentemente

# x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 + (x_2x_3 + x_1x_4) = -3 # ou

# x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_4 + x_3x_4 = -3- (x_2x_3 + x_1x_4) = - 3 #