A área delimitada pela curva y = 3 + 2x-x ^ 2 e a linha y = 3 é girada completamente em torno da linha y = 3. Encontre o volume do sólido de revolução obtido?

Responda:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

A área é a solução deste sistema:

# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

E é esboçado neste enredo:

A fórmula para o volume de um sólido de rotação do eixo x é:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Para aplicar a fórmula, devemos traduzir a meia-lua no eixo x, a área não será alterada e, portanto, não alterará também o volume:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (vermelho) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# y = 3 cores (vermelho) (- 3) = 0 #

Desta forma obtemos #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

A área traduzida agora é plotada aqui:

Mas quais são os aeb da integral? As soluções do sistema:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

assim # a = 0 e b = 2 #.

Vamos reescrever e resolver a integral:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5 / 5- (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3) #

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

E esse "limão" é o sólido obtido: