Qual é a equação da linha tangente de f (x) = (x-3) / (x-4) ^ 2 em x = 5?

A equação da linha tangente é da seguinte forma:

# y = cor (laranja) (a) x + cor (violeta) (b) #

Onde #uma# é a inclinação dessa linha reta.

Para encontrar a inclinação dessa linha tangente para #f (x) # no ponto # x = 5 # devemos diferenciar #f (x) #

#f (x) # é uma função de quociente da forma # (u (x)) / (v (x)) #

Onde #u (x) = x-3 # e #v (x) = (x-4) ^ 2 #

#color (azul) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#u '(x) = x'-3' #

#color (vermelho) (u '(x) = 1) #

#v (x) # é uma função composta, então temos que aplicar a regra da cadeia

deixei #g (x) = x ^ 2 # e #h (x) = x-4 #

#v (x) = g (h (x)) #

#color (vermelho) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#g '(x) = 2x # então

#g '(h (x)) = 2 (h (x)) = 2 (x-4) #

#h '(x) = 1 #

#color (vermelho) (v '(x) = g' (h (x)) * h '(x)) #

#color (vermelho) (v '(x) = 2 (x-4) #

#color (azul) (f '(x) = (u' (x) v (x) -v '(x) u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#f '(x) = (1 * (x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / ((x-4) ^ 2) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) ^ 2-2 (x-4) (x-3)) / (x-4) ^ 2 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2 (x-3))) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (x-4-2x + 6)) / (x-4) ^ 4 #

#f '(x) = ((x-4) (- x + 2)) / (x-4) ^ 4 #

simplificando o fator comum # x-4 # entre numerador e denominador

#color (azul) (f '(x) = (- x + 2) / (x-4) ^ 3) #

Porque a linha tangente passa pelo ponto # x = 5 # para que possamos encontrar o valor da inclinação #uma# substituindo # x = 5 # em # f '(x) #

#color (laranja) (a = f '(5)) #

#a = (- 5 + 2) / (5-4) ^ 3 #

# a = -3 / 1 ^ 3 #

#color (laranja) (a = -3) #

Dada a abscissa do ponto de tangência #color (marrom) (x = 5) # vamos deixar

vamos encontrar a sua ordenada # y = f (5) #

#color (marrom) (y = f (5)) = (5-3) / (5-4) ^ 4 #

# y = 2/1 #

#color (marrom) (y = 2) #

Tendo as coordenadas do ponto de tangência #color (marrom) ((5; 2)) # e a inclinação #color (laranja) (a = -3) # vamos encontrar #color (violeta) (b) #

Vamos substituir todos os valores conhecidos na equação da linha tangente para encontrar valor #color (violeta) (b) #

#color (marrom) (y) = cor (laranja) (a) cor (marrom) (x) + cor (violeta) (b) #

# 2 = -3 (5) + cor (violeta) (b) #

# 2 = -15 + cor (violeta (b) #

# 17 = cor (violeta) (b) #

portanto, a equação da linha tangente no ponto #color (marrom) ((5; 2)) # é:

# y = -3x + 17 #