Como eu resolvo 2sinx = cos (x / 3)?

Responda:

Nossas soluções aproximadas são:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, ou -732.573 ^ circ} + 1080 ^ circ k quad #

para inteiro #k #.

Explicação:

# 2 sin x = cos (x / 3) #

Isso é bem difícil.

Vamos começar definindo # y = x / 3 # assim # x = 3y # e substituindo. Então podemos usar a fórmula de triplo ângulo:

# 2 sin (3y) = cos y #

# 2 (3 sin y - 4 sin ^ 3 y) = cos y #

Vamos esquadrinhar, então escrevemos tudo em termos de # sin ^ 2 y #. Isso provavelmente irá introduzir raízes estranhas.

# 4 sin ^ 2y (3 - 4 pecado ^ 2y) ^ 2 = cos ^ 2 y = 1 - sin ^ 2 y #

Deixei # s = sin ^ 2 y #. Squared sines são chamados espalha em trigonometria racional.

# 4 s (3 - 4s) ^ 2 = 1 - s #

# 4 s (9 - 24 s + 16 s ^ 2) = 1 - s #

# 64 s ^ 3 - 96 s ^ 2 + 37 s - 1 = 0 #

Essa é uma equação cúbica com três raízes reais, candidatas para os sínuos quadrados de # 3x. # Poderíamos empregar a fórmula cúbica, mas isso levaria apenas a algumas raízes cúbicas de números complexos que não são particularmente úteis. Vamos apenas pegar uma solução numérica:

# s 0,66035 ou s 0,029196 ou s 0,81045 #

#x = 3y = 3 arcsin (pm sqrt {s}) #

Vamos trabalhar em graus. Nossas possíveis soluções aproximadas são:

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.66035}) aproximadamente pm 163.058 ^ circ ou pm 703.058 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.029196}) aproximadamente pm 29.5149 ^ circ ou pm 569.51 ^ circ #

# x = 3 arcsin (pm sqrt {0.81045}) aproximadamente pm 192.573 ^ circ ou pm 732.573 ^ circ #

Vamos ver se algum desses trabalhos. Deixei #e (x) = 2 sin x - cos (x / 3) #

#e (163.058 ^ circ) aproximadamente 0.00001 quad # isso é uma solução.

#e (-163.058 ^ circ) aproximadamente -1.17 quad # não é uma solução.

Claramente no máximo um de #PM# par vai funcionar.

Mais dez para ir.

#e (703.058 ^ circ) aproximadamente 0.00001 quad sqrt #

#e (-703.058 ^ circ) quad # Não

#e (29.5149 ^ circ) aproximadamente 10 ^ {- 6} quad sqrt #

#e (-29.5149 ^ circ) quad # Não

#e (569.51 ^ circ) aproximadamente 10 ^ {- 4} quad sqrt #

#e (-569.51 ^ circ) quad # Não

#e (192.573 ^ circ) aproximadamente -.87 quad # Não

#e (-192.573 ^ circ) aproximadamente 0.00001 quad sqrt #

#e (732.573 ^ circ) aproximadamente -.87 quad # Não

#e (-732.573 ^ circ) aproximadamente 0.00001 quad sqrt #

O arcsin vem com um # + 360 ^ circ k #, e o fator de três torna # 1080 ^ circ k. #

OK, nossas soluções aproximadas são:

# x = {163.058 ^ circ, 703.058 ^ circ, 29.5149 ^ circ, 569.51 ^ circ, -192.573 ^ circ, -732.573 ^ circ} + 1080 circ circ k quad # para inteiro #k #.