Mostre que cos² / 10 + cos²4π / 10 + cos² 6π / 10 + cos²9π / 10 = 2. Estou um pouco confuso se eu fizer Cos²4π / 10 = cos² (π-6π / 10) & cos²9π / 10 = cos² (π-π / 10), ele vai se tornar negativo como cos (180 ° -teta) = - costheta em o segundo quadrante. Como faço para provar a questão?

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Por favor veja abaixo.

Explicação:

# LHS = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((6pi) / 10) + cos ^ 2 ((9pi) / 10) #

# = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi- (4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi (pi) / 10) #

# = cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * cos ^ 2 (pi / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * cos ^ 2 (pi / 2- (4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * sen ^ 2 ((4pi) / 10) + cos ^ 2 ((4pi) / 10) #

# = 2 * 1 = 2 = RHS #

Nós sabemos isso, #color (vermelho) (costheta = sin (pi / 2-theta) # assim também,

#color (vermelho) (cos ^ 2theta = sin ^ 2 (pi / 2-theta) #

#color (magenta) (costheta = -sin ((3pi) / 2-theta) # assim também,

#color (magenta) (cos ^ 2theta = (-sin ((3pi) / 2-theta)) ^ 2 = sin ^ 2 ((3pi) / 2-theta) #

voltando à questão, #color (vermelho) (cos²π / 10) + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + cor (magenta) (cos² (9π) / 10) = 2 #

#color (vermelho) (sen² (pi / 2-π / 10)) + cos² (4π) / 10 + cos² (6π) / 10 + cor (magenta) ((- sin ((3pi) / 2- (9π) / 10)) ^ 2) = 2 #

# sin2 ((5pi) / 10-π / 10) + cos2 (4p) / 10 + cos2 (6p) / 10 + sin2 ((3pi) / 2- (9p) / 10) = 2 #

# sin2 (4p) / 10 + cos2 (4p) / 10 + cos2 (6p) / 10 + sin2 ((15pi) / 10- (9p) / 10) = 2 #

# sin2 (4p) / 10 + cos2 (4p) / 10 + cos2 (6p) / 10 + sin2 (6p) / 10 = 2 #

Aplicando, # sin ^ 2theta + cos ^ 2theta = 1 #

#1+1=2#

#2=2#

Daí Provado.

P.S. você estava indo certo, apenas note que, mesmo que seja negativo, a resposta final acaba por ser positiva como o # cos # é quadrado de acordo com a pergunta. Qualquer número negativo ao quadrado é positivo:)