Usando a definição de convergência, como você prova que a sequência {5+ (1 / n)} converge de n = 1 para infinito?

Deixei:

#a_n = 5 + 1 / n #

então para qualquer # m, n em NN # com #n> m #:

#abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) #

#abs (a_m-a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) #

#abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) #

Como #n> m => 1 / n <1 / m #:

#abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n #

e como # 1 / n> 0 #:

#abs (a_m-a_n) <1 / m #.

Dado qualquer número real #epsilon> 0 #, escolha um inteiro #N> 1 / epsilon #.

Para quaisquer inteiros # m, n> N # temos:

#abs (a_m-a_n) <1 / N #

#abs (a_m-a_n) <epsilon #

o que prova a condição de Cauchy para a convergência de uma sequência.